Z臨界值計算機

Z臨界值是什麼

臨界值是標準常態曲線上的一個分界點。在假說檢定中，它定義了拒絕域：如果檢定統計量落在這個分界點之外，就表示在虛無假設 $H_0$ 成立時，這個結果已經夠不尋常，因此可以拒絕 $H_0$。在信賴區間中，臨界值決定了估計值兩側要乘上多少個標準誤。

對於 Z臨界值，這個計算機使用標準常態分配 $Z \sim N(0,1)$ 進行反查。它不是從已知的 z 分數去找左側機率，而是從 $\alpha=0.05$ 這樣的面積，或 $95\%$ 這樣的信賴水準出發，找出能形成該面積的 z 值。

Alpha 與信賴水準

顯著水準 $\alpha$ 是分配給拒絕域的機率。顯著水準為 $5\%$ 就代表 $\alpha=0.05$。

信賴水準是信賴區間中央涵蓋的比例，通常寫成 $1-\alpha$。$95\%$ 的信賴水準對應：

對於雙尾臨界值，這個總 alpha 會平均分配到兩個尾端：

對於單尾臨界值，全部 alpha 都留在所選的尾端。

單尾與雙尾臨界值

在右尾檢定中，拒絕域位於曲線右端，因此計算機求的是：

在左尾檢定中，拒絕域位於曲線左端：

在雙尾檢定中，拒絕域分散在兩端：

所以，$95\%$ 的雙尾 Z臨界值大約是 $\pm 1.96$，而 $95\%$ 的單尾查找則大約使用右尾 $1.645$ 或左尾 $-1.645$。

如何使用這個計算機

1. 選擇尾部類型：雙尾、右尾或左尾。
2. 選擇你的輸入是信賴水準還是顯著水準 $\alpha$。
3. 使用預設的信賴水準，或輸入自訂數值。
4. 查看臨界值與拒絕域說明。
5. 將檢定統計量和臨界值或邊界做比較。

例如，在雙尾檢定且 $\alpha=0.05$ 時，拒絕規則是 $z \le -1.96$ 或 $z \ge 1.96$。在右尾檢定且 $\alpha=0.05$ 時，拒絕規則是 $z \ge 1.645$。

如何解讀陰影 alpha 區域

曲線中有陰影的部分就是拒絕域。在雙尾檢定中，計算機會將兩端都加上陰影，因為任一方向的極端值都可能對虛無假設不利。在右尾檢定中，只有右尾有陰影；在左尾檢定中，只有左尾有陰影。

垂直標記線代表不拒絕區域和拒絕域之間的邊界。只要檢定統計量超過這條邊界，就落在有陰影的 alpha 區域內。

信賴區間中的臨界值

對於雙側 z 信賴區間，使用的也是同樣的雙尾反查。$95\%$ 的區間會把 $\alpha=0.05$ 留在區間外，其中每個尾端各占 $0.025$，因此臨界值為 $z^* \approx 1.96$。誤差範圍為：