t臨界值計算機

透過信賴水準或顯著水準(alpha)及自由度，計算單尾或雙尾檢定的t臨界值及拒絕域。

輸入查詢設定

使用基於您選擇的自由度的學生t分配。結果會隨著您變更自由度、單雙尾類型或輸入值而即時更新。

\nu

自由度 (df)

對於單樣本平均數或配對樣本差異，請使用 n - 1。

檢定類型（單/雙尾）

輸入模式

在雙尾查詢中，信賴水準代表中心區域的面積，剩餘的alpha值被平均分配到兩側尾部。

常用信賴水準

\mathrm{CL}

信賴水準

請輸入一個大於0且小於100的百分比數值。

臨界值計算結果

$t_1=t_{\alpha/2}$ 下限臨界值

-2.262157

$t_2=t_{1-\alpha/2}$ 上限臨界值

2.262157

\alpha

0.05

\alpha/2

0.025

2.5%

1-\alpha

95%

信賴水準

分配類型

t_{9}

學生t分配

F_t^{-1}(p)

0.975

p=1-\alpha/2

拒絕域

當 t 小於等於下限臨界值，或大於等於上限臨界值時，拒絕虛無假說(H0)。

包含Alpha陰影的t分配曲線

顯示的值已進行四捨五入處理；在對臨界狀態的檢定統計量進行比較時，請使用公式中的完整精確度。

分配查詢步驟

將輸入值轉換為Alpha

\alpha = 1-\frac{95}{100} = 0.05

將Alpha分配至對應側的尾部

\frac{\alpha}{2}=\frac{0.05}{2}=0.025

確定所需的t分配分位數

t^{*}=F_t^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)=F_t^{-1}\left(0.975\right)=2.26215716

得出臨界值

t_1=\left(-2.26215716\right),\ t_2=2.26215716

t臨界值是什麼

臨界值是機率曲線上的一個分界點。在假說檢定中，它定義了拒絕域：如果檢定統計量落在這個分界點之外，就表示在虛無假設 $H_0$ 成立時，這個結果已經夠不尋常，因此可以拒絕 $H_0$ 。在信賴區間中，臨界值決定了估計值兩側要乘上多少個標準誤。

對於 t臨界值，這個計算機會依照你選定的自由度使用 Student's t 分配。和標準常態曲線相比，t 曲線的尾端更厚，特別是在自由度較小時更明顯。隨著自由度增加，t 分配會逐漸接近 z 分配。

自由度

自由度通常寫作 $\nu$ 或 $df$ ，它決定了 t 分配的形狀。對於單一樣本 t 檢定或成對差值，常見規則是：

df = n - 1

例如，樣本數 $n=25$ 時， $df=24$ 。自由度越小，臨界值通常越大，因為分配尾端包含了更多機率。

Alpha 與信賴水準

顯著水準 $\alpha$ 是分配給拒絕域的機率。顯著水準為 $5\%$ 就代表 $\alpha=0.05$ 。

信賴水準是信賴區間中央涵蓋的比例，通常寫成 $1-\alpha$ 。 $95\%$ 的信賴水準對應：

\alpha = 1 - 0.95 = 0.05

對於雙尾臨界值，這個總 alpha 會平均分配到兩個尾端：

\alpha_{\text{每個尾端}} = \frac{\alpha}{2}

對於單尾臨界值，全部 alpha 都留在所選的尾端。

單尾與雙尾臨界值

在右尾檢定中，拒絕域位於曲線右端，因此計算機求的是：

t_{\alpha,df} = F_t^{-1}(1-\alpha)

在左尾檢定中，拒絕域位於曲線左端：

t_{\alpha,df} = F_t^{-1}(\alpha)

在雙尾檢定中，拒絕域分散在兩端：

\pm t^{*} = \pm F_t^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)

例如，當 $df=24$ 且進行 $95\%$ 的雙尾查找時，臨界值大約是 $\pm 2.064$ 。在相同自由度下，如果做右尾且 $\alpha=0.05$ 的查找，臨界值大約是 $1.711$ 。

如何使用這個計算機

輸入自由度。
選擇尾部類型：雙尾、右尾或左尾。
選擇你的輸入是信賴水準還是顯著水準 $\alpha$ 。
使用預設的信賴水準，或輸入自訂數值。
查看臨界值與拒絕域說明。
將檢定統計量和臨界值或邊界做比較。

如何解讀陰影 alpha 區域

曲線中有陰影的部分就是拒絕域。在雙尾檢定中，計算機會將兩端都加上陰影，因為任一方向的極端值都可能對虛無假設不利。在右尾檢定中，只有右尾有陰影；在左尾檢定中，只有左尾有陰影。

垂直標記線代表不拒絕區域和拒絕域之間的邊界。只要檢定統計量超過這條邊界，就落在有陰影的 alpha 區域內。

信賴區間中的臨界值

對於平均數的雙側 t 信賴區間，使用的也是同樣的雙尾反查。 $95\%$ 的區間會把 $\alpha=0.05$ 留在區間外，其中每個尾端各占 $0.025$ ，因此在 $df=24$ 時，臨界值是 $t^* \approx 2.064$ 。誤差範圍為：

\text{誤差範圍} = t^* \times \text{標準誤}