Z分數能告訴你什麼

Z分數用於衡量一個原始值與平均數之間的距離，以標準差為單位。如果一個值的Z分數為2，表示它比平均數高出兩個標準差；如果Z分數為−1.5，則表示它比平均數低了一個半標準差。

計算公式為：

其中，$x$ 為原始值，$\mu$ 為平均數，$\sigma$ 為標準差。標準差必須為正數，因為它代表資料的分散程度。

如何解讀正、負及零Z分數

• 正Z分數表示原始值高於平均數。
• 負Z分數表示原始值低於平均數。
• Z分數為零表示原始值與平均數完全相等。

數值的大小同樣重要。接近0的Z分數表示該值靠近平均水準，而Z分數為2或−2則表示與中心相距較遠。極大或極小的Z分數需要結合背景脈絡來解讀：可能代表一個異常的觀測值、一個有意義的離群值，或只是該分配本身就預期會出現極端值。

從原始值到標準常態分配

標準化將原始值從其原始尺度轉換為標準常態分配的尺度，即平均數為0、標準差為1的分配。這使得來自不同常態分配的測量值可以在同一尺度上進行比較。

一旦求得Z分數，就可以將其與標準常態分配連結：

• 左尾機率 $P(X \le x)$，是原始值左側曲線下的面積。
• 百分位數是將左尾機率以百分比表示的結果。百分位數為84%，意謂約84%的常態分配值位於該點或其以下。
• 右尾機率 $P(X > x)$，是原始值右側曲線下的面積。

這些機率依賴於常態模型。若原始分配嚴重偏斜、存在多個峰值或包含極端離群值，常態機率的可靠性可能降低——儘管Z分數公式本身仍能正確地對值進行標準化。

計算範例

假設某次考試成績為 $x = 85$，全班平均數為 $\mu = 70$，標準差為 $\sigma = 15$。

該成績比平均數高出一個標準差。在常態模型下，Z分數為1對應的左尾機率約為0.8413，即該成績大約位於第84百分位數。右尾機率約為0.1587。

注意事項

• $\sigma$ 必須大於0。標準差為0代表資料毫無分散，Z分數公式將出現除以零的情況。
• 常態機率假設分配近似服從常態分配。Z分數本身只是一個標準化的距離，但百分位數和尾機率的解讀使用的是常態曲線。
• 極端Z分數需要結合具體背景理解。在某些領域，超過3個標準差的值非常罕見；在另一些具有厚尾特性的領域，這類值則不那麼罕見。

常見問題

Z分數越高越好嗎？

不一定。Z分數越高只是意謂該值比平均數高得越多，至於這是好還是不好，取決於所測量的變數本身。考試成績高固然是好事，但血壓偏高則可能是一個警示訊號。

負Z分數代表什麼意思？

負Z分數表示原始值低於平均數。例如，$z = -2$ 表示該值比平均數低了兩個標準差。

百分位數和機率是同一回事嗎？

兩者密切相關，但通常以不同方式表達。左尾機率是曲線下面積的小數形式，例如0.8413；百分位數則將相同的位置以百分比表示，例如第84百分位數。