理解Z分數機率

標準常態分配（Standard Normal Distribution）是均值 $\mu = 0$、標準差 $\sigma = 1$ 的常態分配。此尺度上的值記作 $Z$，曲線上的特定位置稱為Z分數。

Z分數機率是指標準常態曲線下方的面積。例如，$P(Z < z)$ 是Z分數 $z$ 左側的面積。由於曲線下方的總面積為1，這些面積可作為機率或百分比來理解。

累積分配函數（CDF）的作用

標準常態累積分配函數（CDF）記作 $\Phi(z)$，給出左尾機率：

一旦求得 $\Phi(z)$，其他常見的機率形式均可透過補集、差值和對稱性推導得出。

如何解讀各機率形式

• 左尾機率：$P(Z < z)=\Phi(z)$ 對 $z$ 左側的所有區域著色。
• 右尾機率：$P(Z > z)=1-\Phi(z)$ 對 $z$ 右側的所有區域著色。
• 兩個Z分數之間：$P(z_1 < Z < z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$，先使用較小的Z分數。
• 中心機率：$P(-z < Z < z)=\Phi(z)-\Phi(-z)$，適用於正數距離 $z$。
• 雙尾機率：$P(Z < -z \text{ 或 } Z > z)=1-[\Phi(z)-\Phi(-z)]$，即中心以外的面積。

單個Z分數計算範例

設 $z=1.25$，CDF 值約為：

因此 $P(Z<1.25)\approx 0.8944$，右尾機率為：

均值到 $z=1.25$ 之間的面積為 $0.8944-0.5=0.3944$。$-1.25$ 到 $1.25$ 之間的對稱中心面積約為 $0.7888$，兩側尾部合計約 $0.2112$。

兩個Z分數計算範例

求 $P(-1 < Z < 2)$ 時，在兩個端點處使用CDF：

利用標準常態數值，$\Phi(2)\approx 0.9772$，$\Phi(-1)\approx 0.1587$，故：

計算機還會給出兩個外側部分的數值：$P(Z<-1)$ 和 $P(Z>2)$。

圖形著色與公式的對應關係

每條著色曲線都直觀地展示了公式所描述的同一面積。左尾結果從最左端著色到Z標記處。右尾結果從Z標記處著色到最右端。區間結果只對兩個標記之間的部分著色。雙尾或外側結果對兩端著色，中間部分保持空白。

常見注意事項

• 上述機率使用標準常態分配，直接適用於 $Z$ 服從標準常態模型的情形。
• 對於連續分配，$P(Z < z)$ 與 $P(Z \le z)$ 實際上相同，因為單一點的機率為0。
• 對於非常態資料，Z分數機率可能只是近似值。Z分數仍可描述標準化距離，但常態機率的解釋取決於所使用的模型。

常見問題

為什麼 $P(Z < 0)=0.5$？

標準常態曲線以0為中心對稱分布。總面積的一半在均值左側，另一半在右側，因此 $\Phi(0)=0.5$。

單尾機率和雙尾機率有什麼區別？

單尾機率只從截斷值出發看一個方向，例如 $P(Z>z)$。雙尾機率則合併了兩個極端，例如 $P(Z<-z \text{ 或 } Z>z)$。

為什麼計算機對中心機率和外側機率使用 $-z$ 和 $z$？

這些形式用於回答圍繞均值的對稱問題。中心機率詢問在0兩側相同距離內有多少面積，而外側（雙尾）機率詢問超出該距離在任一尾部有多少面積。