ZestCalc
ZestCalc
Appearance
Language

Z-Kritischer Wert Rechner

Berechnen Sie den z-kritischen Wert für ein Konfidenz- oder Signifikanzniveau mit ein- und zweiseitigen Ablehnungsbereichen.

Suchparameter eingeben

Auf die Standardnormalverteilung festgelegt. Die Ergebnisse werden aktualisiert, wenn Sie die Art des Tests oder den Eingabewert ändern.

Art des Tests

Eingabemodus

Bei einer zweiseitigen Suche ist das Konfidenzniveau der zentrale Bereich, und Alpha wird gleichmäßig auf beide Tails (Seiten) aufgeteilt.

Häufige Konfidenzniveaus

Geben Sie einen Prozentwert größer 0 und kleiner 100 ein.

Ergebnis des kritischen Werts

z1=zα/2z_1=z_{\alpha/2} Unterer kritischer Wert

-1.959964

z2=z1−α/2z_2=z_{1-\alpha/2} Oberer kritischer Wert

1.959964

α\alpha
0.05
5%
Alpha
α/2\alpha/2
0.025
2.5%
Alpha pro Seite
1−α1-\alpha
95%
Konfidenzniveau
Konfidenzniveau
Verteilung
Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1)
Standardnormalverteilung
Φ−1(p)\Phi^{-1}(p)
0.975
p=1−α/2p=1-\alpha/2
Gesuchtes Quantil

Ablehnungsbereich

H0 ablehnen, wenn z kleiner oder gleich dem unteren kritischen Wert oder größer oder gleich dem oberen kritischen Wert ist.

Normalverteilungskurve mit schattiertem Alpha

Normalverteilungskurve mit schattiertem AlphaZwei Alpha-Bereiche: Zielbereich = 0.05Zwei Alpha-Bereiche: Zielbereich = 0.05-3.503.5Mittelwert0Kritischer Wert: z1 = -1.96z1 = -1.96Kritischer Wert: z2 = 1.96z2 = 1.96

Die Werte sind für die Anzeige gerundet; verwenden Sie die volle Genauigkeit der Formeln, wenn Sie grenzwertige Teststatistiken vergleichen.

Schritt-für-Schritt Berechnung

Eingabe in Alpha konvertieren

α=1−95100=0.05\alpha = 1-\frac{95}{100} = 0.05

Alpha auf die Seite(n) verteilen

α2=0.052=0.025\frac{\alpha}{2}=\frac{0.05}{2}=0.025

Das benötigte Quantil identifizieren

z∗=Φ−1(1−α2)=Φ−1(0.975)=1.95996399z^{*}=\Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)=\Phi^{-1}\left(0.975\right)=1.95996399

Den kritischen Wert ablesen

z1=(−1.95996399), z2=1.95996399z_1=\left(-1.95996399\right),\ z_2=1.95996399

Was ein z-kritischer Wert bedeutet

Ein kritischer Wert ist ein Schwellenwert auf der Standardnormalverteilung. In Hypothesentests legt er den Ablehnungsbereich fest: Liegt die Teststatistik jenseits dieses Schwellenwerts, ist das Ergebnis unter der Nullhypothese ungewöhnlich genug, um H0H_0 zu verwerfen. In Konfidenzintervallen bestimmt der kritische Wert, wie viele Standardfehler auf jeder Seite der Schätzung berücksichtigt werden.

Für einen z-kritischen Wert nutzt der Rechner die Standardnormalverteilung Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1) und führt eine inverse Suche durch. Statt nach der Wahrscheinlichkeit links von einem bekannten z-Wert zu fragen, startet er mit einer Fläche wie α=0.05\alpha=0.05 oder einem Konfidenzniveau wie 95%95\% und findet den z-Wert, der diese Fläche erzeugt.

Alpha versus Konfidenzniveau

Das Signifikanzniveau α\alpha ist die Wahrscheinlichkeit, die dem Ablehnungsbereich zugeordnet wird. Ein Signifikanzniveau von 5%5\% bedeutet α=0.05\alpha=0.05.

Das Konfidenzniveau ist die zentrale Abdeckung für Konfidenzintervalle und wird meist als 1−α1-\alpha geschrieben. Ein Konfidenzniveau von 95%95\% entspricht:

α=1−0.95=0.05\alpha = 1 - 0.95 = 0.05

Für zweiseitige kritische Werte wird dieses gesamte Alpha gleichmäßig auf beide Enden verteilt:

αpro Seite=α2\alpha_{\text{pro Seite}} = \frac{\alpha}{2}

Für einseitige kritische Werte bleibt das gesamte Alpha in der gewählten Seite.

Einseitige und zweiseitige kritische Werte

Bei einem rechtsseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich am oberen Ende der Verteilung. Der Rechner bestimmt daher:

zα=Φ−1(1−α)z_{\alpha} = \Phi^{-1}(1-\alpha)

Bei einem linksseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich am unteren Ende der Verteilung:

zα=Φ−1(α)z_{\alpha} = \Phi^{-1}(\alpha)

Bei einem zweiseitigen Test wird der Ablehnungsbereich auf beide Enden verteilt:

±z∗=±Φ−1(1−α2)\pm z^{*} = \pm \Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)

Deshalb ist der z-kritische Wert für ein zweiseitiges Niveau von 95%95\% ungefähr ±1.96\pm 1.96, während bei einer einseitigen Abfrage mit 95%95\% etwa 1.6451.645 für die rechte Seite bzw. −1.645-1.645 für die linke Seite verwendet wird.

So verwenden Sie diesen Rechner

  1. Wählen Sie die Testart: zweiseitig, rechtsseitig oder linksseitig.
  2. Wählen Sie, ob Ihre Eingabe ein Konfidenzniveau oder ein Signifikanzniveau α\alpha ist.
  3. Verwenden Sie ein voreingestelltes Konfidenzniveau oder geben Sie einen eigenen Wert ein.
  4. Lesen Sie den kritischen Wert und die Aussage zum Ablehnungsbereich ab.
  5. Vergleichen Sie Ihre Teststatistik mit dem kritischen Wert bzw. den Grenzen.

Beispiel: Bei einem zweiseitigen Test mit α=0.05\alpha=0.05 lautet die Entscheidungsregel z≤−1.96z \le -1.96 oder z≥1.96z \ge 1.96. Bei einem rechtsseitigen Test mit α=0.05\alpha=0.05 lautet sie z≥1.645z \ge 1.645.

So lesen Sie den schattierten Alpha-Bereich

Der schattierte Teil der Kurve ist der Ablehnungsbereich. Bei einem zweiseitigen Test schattiert der Rechner beide Seiten, weil extreme Werte in beide Richtungen gegen die Nullhypothese sprechen. Bei einem rechtsseitigen Test ist nur die rechte Seite schattiert. Bei einem linksseitigen Test ist nur die linke Seite schattiert.

Die vertikale Markierung ist die Grenze zwischen dem Nicht-Ablehnungsbereich und dem Ablehnungsbereich. Liegt eine Teststatistik jenseits der Markierung, befindet sie sich im schattierten Alpha-Bereich.

Kritische Werte in Konfidenzintervallen

Für ein zweiseitiges z-Konfidenzintervall wird dieselbe zweiseitige Abfrage verwendet. Ein Intervall von 95%95\% lässt α=0.05\alpha=0.05 außerhalb des Intervalls, mit 0.0250.025 in jeder Seite, sodass der kritische Wert z∗≈1.96z^* \approx 1.96 ist. Die Fehlerspanne lautet dann:

extFehlerspanne=z∗×Standardfehlerext{Fehlerspanne} = z^* \times \text{Standardfehler}

Verwandte Tools

Weitere Statistik-Rechner, die gut zu z-kritischen Werten passen.

t*

t-Wert Rechner (Kritischer Wert)

Berechnen Sie kritische t-Werte aus dem Konfidenzniveau oder Alpha, mit Freiheitsgraden für links-, rechts- und zweiseitige Tests.

Explore
Z

Z-Wert-Rechner

Berechnen Sie einen Z-Wert aus einem Rohwert, Mittelwert und der Standardabweichung, inklusive Perzentil- und Wahrscheinlichkeitsangaben.

Explore
PZ

Z-Score-Wahrscheinlichkeitsrechner

Berechnen Sie linksseitige, rechtsseitige, dazwischenliegende, mittlere und beidseitige Wahrscheinlichkeiten für Standardnormal-Z-Scores.

Explore
CI

Konfidenzintervall-Rechner für den Mittelwert

Schätzen Sie den Mittelwert der Grundgesamtheit aus Stichprobenmittelwert, Standardabweichung, Stichprobengröße und Konfidenzniveau mit z- oder t-Werten.

Explore