Ein Konfidenzintervall für den Mittelwert verstehen

Ein Konfidenzintervall für den Mittelwert verwendet Stichprobendaten, um einen plausiblen Bereich für einen unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit zu schätzen. Statt nur einen einzelnen Wert wie den Stichprobenmittelwert $\bar{x}$ zu berichten, gibt es ein Intervall um diesen Mittelwert an, mit einer Fehlerspanne auf beiden Seiten.

Die Grundform ist:

Für einen Mittelwert lautet der Standardfehler:

Das Intervall wird also schmaler, wenn die Standardabweichung kleiner ist oder die Stichprobengröße $n$ größer wird.

Was das Konfidenzniveau bedeutet

Ein Konfidenzniveau von 90 %, 95 % oder 99 % beschreibt die langfristige Zuverlässigkeit der Methode. Wenn Sie wiederholt Zufallsstichproben ziehen und die Intervalle immer auf dieselbe Weise bilden würden, würden etwa 90 %, 95 % oder 99 % dieser Intervalle den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit enthalten.

Ein höheres Konfidenzniveau erfordert einen größeren kritischen Wert. Deshalb ist ein 99-%-Intervall bei denselben Daten breiter als ein 95-%-Intervall. Ein 90-%-Intervall ist schmaler, nutzt aber eine Methode mit einer niedrigeren langfristigen Trefferquote.

Zweiseitige und einseitige Intervalle

Dieser Rechner bildet ein zweiseitiges Konfidenzintervall. Das bedeutet, dass das Intervall eine untere und eine obere Grenze hat und die Unsicherheit gleichmäßig auf die beiden Verteilungsenden aufgeteilt wird.

Ein zweiseitiges 95-%-Intervall lässt zum Beispiel 5 % außerhalb des Intervalls: 2,5 % im linken und 2,5 % im rechten Randbereich. Der kritische Wert stammt daher aus dem 97,5. Perzentil:

Eine einseitige Konfidenzgrenze beantwortet eine andere Frage. Eine obere Grenze beantwortet: „Wie groß könnte der Mittelwert der Grundgesamtheit vernünftigerweise sein?“ und hat die Form $\bar{x} + \text{kritischer Wert} \times SE$. Eine untere Grenze beantwortet: „Wie klein könnte der Mittelwert der Grundgesamtheit vernünftigerweise sein?“ und hat die Form $\bar{x} - \text{kritischer Wert} \times SE$. Manchmal werden diese als rechtsseitige oder linksseitige Grenzen beschrieben, doch obere Grenze und untere Grenze sind meist klarer.

Da einseitige Grenzen die gesamte Fehlerwahrscheinlichkeit auf eine Seite legen, unterscheiden sich ihre kritischen Werte von den hier gezeigten zweiseitigen Werten. Eine einseitige 95-%-Grenze verwendet das 95. Perzentil, nicht das 97,5. Perzentil eines zweiseitigen 95-%-Intervalls. Verwenden Sie das zweiseitige Ergebnis, wenn Sie einen Bereich um den Mittelwert benötigen; verwenden Sie eine einseitige Grenze nur, wenn die statistische Frage ausdrücklich eine obere oder untere Grenze betrifft.

z-Wert oder t-Wert

Verwenden Sie einen z-Wert, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma$ bekannt ist. Das ist häufig in Lehrbuchaufgaben der Fall, in denen $\sigma$ ausdrücklich angegeben wird.

Verwenden Sie einen t-Wert, wenn die Standardabweichung aus der Stichprobe stammt und als $s$ geschrieben wird. Der t-Wert hängt von den Freiheitsgraden ab:

Die t-Verteilung hat bei kleinen Stichproben schwerere Enden, wodurch das Intervall breiter wird. Mit wachsender Stichprobengröße nähert sich der t-Wert dem z-Wert an.

Deshalb fragt der Rechner, ob Ihre Standardabweichung eine Stichprobenstandardabweichung $s$ oder eine Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma$ ist. Im Auto-Modus verwendet Stichprobe $s$ einen t-Wert und Grundgesamtheit $\sigma$ einen z-Wert. Die manuelle Auswahl von z-Wert oder t-Wert ist verfügbar, wenn Kurs, Tabelle oder Arbeitsablauf eine bestimmte Methode verlangt.

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie Stichprobenmittelwert, Standardabweichung, Stichprobengröße und Konfidenzniveau ein. Wählen Sie aus, ob die Standardabweichung Stichprobe $s$ oder Grundgesamtheit $\sigma$ ist. Lassen Sie die Methode für die meisten Aufgaben auf Auto, oder wählen Sie z-Wert oder t-Wert manuell aus, wenn Ihre Aufgabe oder Nachschlagetabelle dies verlangt.

Wenn Sie Rohbeobachtungen statt zusammengefasster Kennzahlen haben, verwenden Sie die Rohdatenhilfe. Fügen Sie Werte ein, die durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche getrennt sind, und übernehmen Sie sie dann, um $\bar{x}$, die Stichprobenstandardabweichung und $n$ auszufüllen.

Durchgerechnetes Beispiel

Angenommen, eine Stichprobe hat den Mittelwert $\bar{x}=42.5$, die Stichprobenstandardabweichung $s=6.2$, die Stichprobengröße $n=25$ und das Konfidenzniveau 95 %.

Da die Standardabweichung aus der Stichprobe stammt, verwenden Sie einen t-Wert mit:

Für 95 % Konfidenz und $df=24$ ist der kritische Wert ungefähr:

Der Standardfehler ist:

Die Fehlerspanne ist:

Das Konfidenzintervall ist:

Alltagssprachlich: Beim Konfidenzniveau von 95 % wird der Mittelwert der Grundgesamtheit auf ungefähr 39,94 bis 45,06 geschätzt. Die Fehlerspanne von etwa 2,56 ist der Abstand vom Stichprobenmittelwert zu jedem Ende des Intervalls.

Annahmen und Hinweise

Die Daten sollten aus einer zufälligen oder repräsentativen Stichprobe stammen. Beobachtungen sollten unabhängig sein, das heißt, eine Beobachtung sollte eine andere nicht bestimmen.

Die Grundgesamtheit sollte annähernd normalverteilt sein, oder die Stichprobe sollte groß genug sein, damit die Normalapproximation sinnvoll ist. Ausreißer, starke Schiefe, Messprobleme und verzerrte Stichproben können das Intervall irreführend machen, selbst wenn die Formel korrekt berechnet wurde.

FAQ

Soll ich den z-Wert oder den t-Wert verwenden?

Verwenden Sie den z-Wert, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma$ bekannt ist. Verwenden Sie den t-Wert, wenn Ihre Standardabweichung die Stichprobenstandardabweichung $s$ ist. In den meisten realen Aufgaben mit Stichprobenkennzahlen ist der t-Wert die sicherere Standardeinstellung.

Warum macht eine kleinere Stichprobengröße das Intervall breiter?

Der Standardfehler wird durch $\sqrt{n}$ geteilt. Ein kleineres $n$ ergibt einen größeren Standardfehler, dadurch steigt die Fehlerspanne.

Warum macht ein höheres Konfidenzniveau das Intervall breiter?

Ein höheres Konfidenzniveau verwendet einen größeren kritischen Wert. Dieser größere kritische Wert multipliziert den Standardfehler und erhöht dadurch die Fehlerspanne.

Ist dieser Rechner zweiseitig oder einseitig?

Er ist zweiseitig. Der Rechner gibt sowohl eine untere als auch eine obere Grenze aus, wobei die verbleibende Wahrscheinlichkeit gleichmäßig auf die beiden Enden verteilt wird. Für eine einseitige obere oder untere Grenze verwenden Sie statt des hier angezeigten zweiseitigen kritischen Werts einen einseitigen kritischen Wert.

Was passiert, wenn die Standardabweichung 0 ist?

Der Standardfehler ist 0, die Fehlerspanne ist 0 und das Intervall fällt mit dem Mittelwert zusammen. Das kann passieren, wenn alle beobachteten Werte identisch sind, sollte Sie aber auch dazu veranlassen, die Dateneingabe zu prüfen.

Kann ich das für nicht normalverteilte Daten verwenden?

Manchmal. Wenn die Stichprobengröße groß ist und die Daten nicht extrem schief oder von Ausreißern dominiert sind, kann die Normalapproximation sinnvoll sein. Bei kleinen Stichproben aus stark nicht normalverteilten Daten sollten Sie vorsichtig sein und eine Methode erwägen, die für diese Situation entwickelt wurde.