Z-Score-Wahrscheinlichkeiten verstehen

Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Mittelwert $\mu = 0$ und Standardabweichung $\sigma = 1$. Werte auf dieser Skala werden als $Z$ bezeichnet, und eine bestimmte Position auf der Kurve wird als Z-Score angegeben.

Eine Z-Score-Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fläche unter der Standardnormalkurve. Zum Beispiel ist $P(Z < z)$ die Fläche links vom Z-Score $z$. Da die gesamte Fläche unter der Kurve gleich 1 ist, können diese Flächen als Wahrscheinlichkeiten oder als Prozentangaben gelesen werden.

Die Rolle der CDF

Die Standardnormal-CDF, geschrieben als $\Phi(z)$, liefert die linksseitige Wahrscheinlichkeit:

Sobald $\Phi(z)$ bekannt ist, lassen sich andere gängige Wahrscheinlichkeitsformen durch Komplementbildung, Differenzen und Symmetrie ableiten.

So lesen Sie die Wahrscheinlichkeitsformen

• Linksseitige Wahrscheinlichkeit: $P(Z < z)=\Phi(z)$ schattiert alles links von $z$.
• Rechtsseitige Wahrscheinlichkeit: $P(Z > z)=1-\Phi(z)$ schattiert alles rechts von $z$.
• Zwischen zwei Z-Scores: $P(z_1 < Z < z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$ – dabei wird der kleinere Z-Score zuerst verwendet.
• Zentrale Wahrscheinlichkeit: $P(-z < Z < z)=\Phi(z)-\Phi(-z)$ für einen positiven Abstand $z$.
• Beidseitige Wahrscheinlichkeit: $P(Z < -z \text{ oder } Z > z)=1-[\Phi(z)-\Phi(-z)]$ für die Fläche außerhalb des Zentrums.

Beispiel mit einem Z-Score

Angenommen $z=1{,}25$. Der CDF-Wert beträgt ungefähr:

Somit gilt $P(Z<1{,}25)\approx 0{,}8944$, und die rechtsseitige Wahrscheinlichkeit beträgt:

Die Fläche zwischen dem Mittelwert und $z=1{,}25$ beträgt $0{,}8944-0{,}5=0{,}3944$. Die symmetrische zentrale Fläche zwischen $-1{,}25$ und $1{,}25$ beträgt etwa $0{,}7888$, sodass in den zwei äußeren Rändern etwa $0{,}2112$ verbleiben.

Beispiel mit zwei Z-Scores

Angenommen, Sie suchen $P(-1 < Z < 2)$. Verwenden Sie die CDF an beiden Endpunkten:

Mit Standardnormalwerten gilt $\Phi(2)\approx 0{,}9772$ und $\Phi(-1)\approx 0{,}1587$, also:

Der Rechner gibt außerdem die beiden äußeren Bereiche aus: $P(Z<-1)$ und $P(Z>2)$.

Wie die Schattierung der Grafik zur Formel passt

Jede schattierte Kurve visualisiert dieselbe Fläche, die in der Formel benannt wird. Ein linksseitiges Ergebnis schattiert vom linken Rand bis zum Z-Marker. Ein rechtsseitiges Ergebnis schattiert vom Marker bis zum rechten Rand. Ein Zwischen-Ergebnis schattiert nur das Intervall zwischen den beiden Markern. Ein beidseitiges oder äußeres Ergebnis schattiert beide Enden und lässt die Mitte frei.

Häufige Hinweise

• Diese Wahrscheinlichkeiten verwenden die Standardnormalverteilung. Sie gelten direkt, wenn $Z$ einem Standardnormalmodell folgt.
• Bei einer stetigen Verteilung sind $P(Z < z)$ und $P(Z \le z)$ praktisch identisch, da ein einzelner Punkt die Wahrscheinlichkeit 0 hat.
• Bei nicht-normalverteilten Daten sind Z-Score-Wahrscheinlichkeiten möglicherweise nur eine Näherung. Der Z-Score kann weiterhin den standardisierten Abstand beschreiben, aber die Interpretation als Normalwahrscheinlichkeit hängt vom Modell ab.

Häufig gestellte Fragen

Warum gilt $P(Z < 0)=0{,}5$?

Die Standardnormalkurve ist symmetrisch um 0. Die Hälfte der Gesamtfläche liegt links vom Mittelwert und die andere Hälfte rechts davon, daher gilt $\Phi(0)=0{,}5$.

Was ist der Unterschied zwischen ein- und zweiseitiger Wahrscheinlichkeit?

Eine einseitige Wahrscheinlichkeit betrachtet eine Richtung vom Schwellenwert, z. B. $P(Z>z)$. Eine zweiseitige (beidseitige) Wahrscheinlichkeit kombiniert beide Extrembereiche, z. B. $P(Z<-z \text{ oder } Z>z)$.

Warum verwendet der Rechner $-z$ und $z$ für zentrale und äußere Wahrscheinlichkeiten?

Diese Formen beantworten symmetrische Fragen um den Mittelwert. Die zentrale Wahrscheinlichkeit fragt, wie viel Fläche innerhalb desselben Abstands von 0 auf beiden Seiten liegt, während die äußere Wahrscheinlichkeit fragt, wie viel Fläche über diesen Abstand hinaus in beiden Rändern liegt.