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彈性碰撞計算機

模擬1D彈性碰撞，計算最終速度，並透過循序漸進的數學推導和互動式動畫驗證動量和動能守恆。

v1′=(m1−m2)v1+2m2v2m1+m2v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}

模擬一維彈性碰撞，計算最終速度，並透過分步推導驗證結果。

彈性碰撞模擬器

輸入質量與速度，模擬一維彈性碰撞。

符號約定：正 (+) = 向右 →，負 (−) = 向左 ←
kg
kg
m/s
−m/s

在此迎面碰撞設定中，v₂ 必須為負值（向左）；系統會自動加上負號。

初始設定

碰撞前的位置、大小與速度箭頭會隨輸入即時更新。

12v₁ = 3 m/sv₂ = -1 m/sm₁ = 2 kgm₂ = 1 kg

碰撞模擬

觀看碰撞過程，碰撞瞬間速度會同步更新。

12v₁ = 3 m/sv₂ = -1 m/s

分步解題

從守恆定律到數值結果，完整呈現推導與驗證。

步驟 1：守恆定律\textbf{步驟 1：守恆定律}
1
動量守恆: m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′\text{動量守恆: } m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1\prime + m_2 v_2\prime
2
動能守恆: 12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\text{動能守恆: } \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2\prime^2
步驟 2：代入已知數值\textbf{步驟 2：代入已知數值}
4
(2)(3)+(1)(−1)=(2)v1′+(1)v2′(2)(3) + (1)(-1) = (2)v_1\prime + (1)v_2\prime
5
6+−1=2 v1′+1 v2′6 + -1 = 2\,v_1\prime + 1\,v_2\prime
6
5=2 v1′+1 v2′⋯(1)5 = 2\,v_1\prime + 1\,v_2\prime \quad \cdots (1)
7
12(2)(3)2+12(1)(−1)2=12(2)v1′2+12(1)v2′2\tfrac{1}{2}(2)(3)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(-1)^2 = \tfrac{1}{2}(2)v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}(1)v_2\prime^2
8
9.5=12(2)v1′2+12(1)v2′2⋯(2)9.5 = \tfrac{1}{2}(2)v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}(1)v_2\prime^2 \quad \cdots (2)
步驟 3：套用推導公式\textbf{步驟 3：套用推導公式}
10
v1′=(m1−m2) v1+2m2 v2m1+m2v_1\prime = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2m_2\,v_2}{m_1 + m_2}
11
v2′=(m2−m1) v2+2m1 v1m1+m2v_2\prime = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2m_1\,v_1}{m_1 + m_2}
步驟 4：計算最終速度\textbf{步驟 4：計算最終速度}
13
v1′=(2−1)(3)+2(1)(−1)2+1v_1\prime = \frac{(2 - 1)(3) + 2(1)(-1)}{2 + 1}
14
v1′=3+−23=13v_1\prime = \frac{3 + -2}{3} = \frac{1}{3}
15
v1′=0.3333 m/s\boxed{v_1\prime = 0.3333 \text{ m/s}}
16
v2′=(1−2)(−1)+2(2)(3)2+1v_2\prime = \frac{(1 - 2)(-1) + 2(2)(3)}{2 + 1}
17
v2′=1+123=133v_2\prime = \frac{1 + 12}{3} = \frac{13}{3}
18
v2′=4.3333 m/s\boxed{v_2\prime = 4.3333 \text{ m/s}}
步驟 5：驗證守恆定律\textbf{步驟 5：驗證守恆定律}
20
碰撞前總動量: 5  kg⋅m/s\text{碰撞前總動量: } 5\;\mathrm{kg\cdot m/s}
21
碰撞後總動量: 2×0.3333+1×4.3333=5  kg⋅m/s✓\text{碰撞後總動量: } 2 \times 0.3333 + 1 \times 4.3333 = 5\;\mathrm{kg\cdot m/s} \quad \checkmark
22
碰撞前總動能: 9.5  J\text{碰撞前總動能: } 9.5\;\mathrm{J}
23
碰撞後總動能: 12(2)(0.3333)2+12(1)(4.3333)2=9.5  J✓\text{碰撞後總動能: } \tfrac{1}{2}(2)(0.3333)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(4.3333)^2 = 9.5\;\mathrm{J} \quad \checkmark

結果摘要

一眼查看本次碰撞的所有關鍵數值。

質量為 2 kg、速度為 3 m/s 的物體 1 與質量為 1 kg、速度為 -1 m/s 的物體 2 發生碰撞。彈性碰撞後，物體 1 的速度為 0.3333 m/s（→），物體 2 的速度為 4.3333 m/s（→）。

物體 1 質量
2 kg
物體 2 質量
1 kg
物體 1 初速度
3 m/s
物體 2 初速度
-1 m/s
物體 1 末速度
0.3333 → m/s
物體 2 末速度
4.3333 → m/s
總動量（碰撞前）
5 kg·m/s
總動量（碰撞後）
5 kg·m/s
總動能（碰撞前）
9.5 J
總動能（碰撞後）
9.5 J

彈性碰撞：完美反彈背後的物理學

什麼是彈性碰撞？

彈性碰撞是指在碰撞過程中，動量和動能都保持守恆的碰撞。與非彈性碰撞不同，非彈性碰撞會把一部分動能轉化為熱、聲音或形變；而彈性碰撞會在碰撞前後保留系統的總動能。

在一維情形中，描述彈性碰撞的兩個基本方程是：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′（動量守恆）m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \text{（動量守恆）}
12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2（動能守恆）\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \quad \text{（動能守恆）}

彈性碰撞與非彈性碰撞

性質彈性碰撞非彈性碰撞
動量守恆？是是
動能守恆？是否
物體會黏在一起嗎？否有時會（完全非彈性）
現實示例撞球、原子碰撞車禍、黏土球碰撞

在實際中，完全彈性碰撞是一種理想化模型。不過，很多現實中的碰撞都非常接近彈性碰撞，尤其是撞球等堅硬物體之間的碰撞，以及原子與分子之間的碰撞。

推導最終速度公式

從這兩個守恆定律出發，我們可以推導出末速度 v1′v_1' 和 v2′v_2' 的閉式表達式。

建立方程組

設兩個物體的質量分別為 m1m_1 和 m2m_2，初速度分別為 v1v_1 和 v2v_2，則有：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′⋯(1)m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \cdots (1)
12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2⋯(2)\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \quad \cdots (2)

求解方程組

將方程 (1) 整理後可得：

m1(v1−v1′)=m2(v2′−v2)⋯(1′)m_1(v_1 - v_1') = m_2(v_2' - v_2) \quad \cdots (1')

將方程 (2) 整理並約去 12\tfrac{1}{2}：

m1(v12−v1′2)=m2(v2′2−v22)m_1(v_1^2 - v_1'^2) = m_2(v_2'^2 - v_2^2)

再把兩邊寫成平方差形式：

m1(v1−v1′)(v1+v1′)=m2(v2′−v2)(v2′+v2)⋯(2′)m_1(v_1 - v_1')(v_1 + v_1') = m_2(v_2' - v_2)(v_2' + v_2) \quad \cdots (2')

將方程 (2') 除以方程 (1')（假設 v1≠v1′v_1 \neq v_1' 且 v2′≠v2v_2' \neq v_2）：

v1+v1′=v2′+v2v_1 + v_1' = v_2' + v_2

這表示：接近時的相對速度，等於分離時相對速度的相反數：

v1−v2=−(v1′−v2′)v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')

將這個結果與方程 (1) 聯立求解，就可以得到：

v1′=(m1−m2) v1+2m2 v2m1+m2\boxed{v_1' = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2m_2\,v_2}{m_1 + m_2}}
v2′=(m2−m1) v2+2m1 v1m1+m2\boxed{v_2' = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2m_1\,v_1}{m_1 + m_2}}

特殊情況與直觀理解

質量相等（m1=m2m_1 = m_2）

當兩個物體質量相同，公式會大幅簡化：

v1′=v2,v2′=v1v_1' = v_2, \quad v_2' = v_1

也就是說，兩個物體會直接交換速度。這正是牛頓擺的核心原理之一：當一個小球撞上一列相同質量的小球時，最末端的小球會以接近入射球的速度彈出。

一個物體靜止（v2=0v_2 = 0）

如果第二個物體初始靜止：

v1′=m1−m2m1+m2 v1,v2′=2m1m1+m2 v1v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \quad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1

當 m1=m2m_1 = m_2 時，運動中的物體會完全停下，並把自己的運動傳給第二個物體。

一個物體遠重於另一個（m1≫m2m_1 \gg m_2）

當很重的物體撞上很輕的物體時：

  • 重物的速度幾乎不變：v1′≈v1v_1' \approx v_1
  • 輕物會被明顯彈開：v2′≈2v1−v2v_2' \approx 2v_1 - v_2

可以把它想像成保齡球撞上網球。保齡球幾乎感受不到變化，而網球會被高速彈飛。

對撞與同向追碰

  • 對撞（兩個物體相向而行）：碰撞更劇烈，速度變化通常更明顯。
  • 同向追碰（較快物體追上較慢物體）：速度變化較小，因為可交換的相對動能更少。

現實中的例子

雖然宏觀世界中幾乎不存在絕對完美的彈性碰撞，但以下情形都很接近：

  1. 撞球：堅硬、光滑的表面使它們在碰撞時只損失極少能量。
  2. 牛頓擺：這個經典桌面擺件能直觀展示彈性碰撞與動量傳遞。
  3. 原子與分子碰撞：在微觀尺度上，氣體分子之間的碰撞通常非常接近彈性碰撞，這是氣體動理論的重要假設。
  4. 粒子物理：粒子加速器中的碰撞分析經常需要用到彈性碰撞與非彈性碰撞框架。

如何使用這個計算機

  1. 輸入兩個物體的質量，單位為公斤，且都必須大於 0。
  2. 輸入初速度，單位為公尺每秒。請使用符號約定：正值表示向右（→\rightarrow），負值表示向左（←\leftarrow）。
  3. 查看初始狀態圖，確認設定與題目場景一致。
  4. 點擊播放，觀看碰撞動畫。碰撞發生時，速度箭頭會同步更新。
  5. 查看分步解題過程，了解你的具體數值如何代入公式並一步步求解。
  6. 閱讀結果摘要，快速查看所有輸入與輸出數值。

如何理解結果

  • 正值末速度表示物體在碰撞後向右運動。
  • 負值末速度表示物體在碰撞後向左運動。
  • 碰撞前後的總動量應當一致（允許少量四捨五入誤差）。
  • 碰撞前後的總動能也應相同，這表示該碰撞滿足彈性碰撞條件。

常見問題

現實中真的存在完全彈性碰撞嗎？

嚴格來說，沒有。所有宏觀碰撞都會把極少量動能轉化為聲音、熱量或形變。不過，像撞球或鋼珠這類非常堅硬的物體之間的碰撞，通常已經非常接近彈性碰撞。

如果兩個物體速度相同，會發生什麼？

如果 v1=v2v_1 = v_2，兩者之間就沒有相對運動，也就不會真正發生碰撞。最終速度會等於初速度，也就是說不會有任何變化。

這個計算機可以處理二維碰撞嗎？

這個計算機只處理一維碰撞。對於二維彈性碰撞，你還需要把速度分解到碰撞方向與垂直方向分別分析。

彈性碰撞的恢復係數是多少？

對於完全彈性碰撞，恢復係數 e=1e = 1。這表示分離時的相對速度大小，等於接近時的相對速度大小。

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