Compreendendo as probabilidades do escore z

A distribuição normal padrão é a distribuição normal com média $\mu = 0$ e desvio padrão $\sigma = 1$. Um valor nessa escala é escrito como $Z$, e uma posição específica na curva é chamada de escore z.

Uma probabilidade de escore z representa uma área sob a curva normal padrão. Por exemplo, $P(Z < z)$ é a área à esquerda do escore z $z$. Como a área total sob a curva é 1, essas áreas podem ser interpretadas como probabilidades ou como porcentagens.

O papel da função de distribuição acumulada

A função de distribuição acumulada (CDF) normal padrão, escrita $\Phi(z)$, fornece a probabilidade da cauda esquerda:

Uma vez que $\Phi(z)$ é conhecida, as demais formas comuns de probabilidade derivam de complementos, diferenças e simetria.

Como interpretar as formas de probabilidade

• Probabilidade da cauda esquerda: $P(Z < z)=\Phi(z)$ sombreia tudo à esquerda de $z$.
• Probabilidade da cauda direita: $P(Z > z)=1-\Phi(z)$ sombreia tudo à direita de $z$.
• Entre dois escores z: $P(z_1 < Z < z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$, usando o escore z menor primeiro.
• Probabilidade central: $P(-z < Z < z)=\Phi(z)-\Phi(-z)$ para uma distância positiva $z$.
• Probabilidade bicaudal: $P(Z < -z \text{ ou } Z > z)=1-[\Phi(z)-\Phi(-z)]$ para a área fora do centro.

Exemplo com um escore z

Suponha $z=1.25$. O valor da CDF é aproximadamente:

Portanto $P(Z<1.25)\approx 0.8944$, e a probabilidade da cauda direita é:

A área entre a média e $z=1.25$ é $0.8944-0.5=0.3944$. A área central simétrica entre $-1.25$ e $1.25$ é de aproximadamente $0.7888$, deixando cerca de $0.2112$ nas duas caudas externas.

Exemplo com dois escores z

Suponha que se deseje $P(-1 < Z < 2)$. Use a CDF em ambos os extremos:

Usando valores normais padrão, $\Phi(2)\approx 0.9772$ e $\Phi(-1)\approx 0.1587$, então:

A calculadora também exibe as duas partes externas: $P(Z<-1)$ e $P(Z>2)$.

Como o sombreamento do gráfico corresponde à fórmula

Cada curva sombreada ilustra a mesma área descrita pela fórmula. Um resultado de cauda esquerda sombrea da extremidade esquerda até o marcador z. Um resultado de cauda direita sombrea do marcador até a extremidade direita. Um resultado entre dois valores sombrea apenas o intervalo entre os dois marcadores. Um resultado bicaudal ou externo sombrea ambas as extremidades e deixa o centro sem sombreamento.

Observações frequentes

• Essas probabilidades utilizam a distribuição normal padrão. Aplicam-se diretamente quando $Z$ segue um modelo normal padrão.
• Para uma distribuição contínua, $P(Z < z)$ e $P(Z \le z)$ são praticamente idênticos, pois um ponto isolado tem probabilidade 0.
• Para dados não normais, as probabilidades de escore z podem ser apenas uma aproximação. O escore z ainda descreve a distância padronizada, mas a interpretação de probabilidade normal depende do modelo.

Perguntas frequentes

Por que $P(Z < 0)=0.5$?

A curva normal padrão é simétrica em torno de 0. Metade da área total está à esquerda da média e a outra metade está à direita, portanto $\Phi(0)=0.5$.

Qual é a diferença entre probabilidade de uma cauda e de duas caudas?

Uma probabilidade de uma cauda examina apenas uma direção a partir de um valor de corte, como $P(Z>z)$. Uma probabilidade bicaudal combina os dois extremos, como $P(Z<-z \text{ ou } Z>z)$.

Por que a calculadora usa $-z$ e $z$ para as probabilidades central e externa?

Essas formas respondem a perguntas simétricas em torno da média. A probabilidade central pergunta quanta área está dentro da mesma distância de 0 em ambos os lados, enquanto a probabilidade externa pergunta quanta área está além dessa distância em qualquer cauda.