Calculadora de intervalo de confiança para a média

Estime a média populacional a partir de estatísticas resumidas com valores críticos z ou t.

Insira as estatísticas resumidas

Média amostral

\bar{x}

Média das observações da amostra.

Tamanho da amostra

n

Número de observações usadas na estimativa.

Desvio padrão

s

Insira o valor e depois marque se ele veio da amostra ou da população.

Este desvio padrão é

Estimado a partir da mesma amostra. Auto usa um valor t.

Nível de confiança

Use uma opção predefinida ou insira uma porcentagem personalizada. Valores personalizados comuns vão de 50 a 99,99.

Observações

Preenche

\bar{x}

média

s

desvio amostral

n

tamanho da amostra

Prévia do resumo

$n$

0

$\bar{x}$

--

$s$

--

Método do valor crítico

Método escolhido automaticamente

valor t

t_{1-\alpha/2,\ 24}

df = 24

Auto escolheu um valor t com df = 24 porque o desvio padrão foi estimado a partir da amostra.

Valor crítico

2.063899

Resultados

Intervalo de confiança

$39.940766 \le \mu \le 45.059234$

Fórmula

\bar{x} - ME \le \mu \le \bar{x} + ME

Valores

42.5 - 2.559234 \le \mu \le 42.5 + 2.559234

No nível de confiança de 95%, estima-se que a média populacional esteja entre 39.940766 e 45.059234.

Auto escolheu um valor t com df = 24 porque o desvio padrão foi estimado a partir da amostra.

Limite inferior

39.940766

Limite superior

45.059234

Média amostral $\bar{x}$

42.5

Margem de erro

2.559234

Erro padrão $\mathrm{SE}$

1.24

Valor crítico $t_{1-\alpha/2,df}$

2.063899

Método

valor t

df

24

Distribuição e valores críticos

Área de confiança de 95%

\pm t_{1-\alpha/2,\ 24}=\pm 2.0639

ME=2.5592

Inferior39.940766

Média42.5

Superior45.059234

Cálculo passo a passo

1. Identificar as entradas

\bar{x}=42.5,\ s=6.2,\ n=25,\ C=95\%,\ \text{method}=t\text{-score}

2. Calcular o erro padrão

SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{6.2}{\sqrt{25}}=1.24

3. Encontrar o valor crítico

df=n-1=24,\ t_{1-\alpha/2,\ 24}=2.063899

4. Calcular a margem de erro

ME=2.063899\times 1.24=2.559234

5. Calcular o intervalo de confiança

\bar{x}\pm ME=42.5\pm 2.559234\Rightarrow 39.940766 \le \mu \le 45.059234

Entendendo um intervalo de confiança para a média

Um intervalo de confiança para a média usa dados amostrais para estimar uma faixa razoável para uma média populacional desconhecida. Em vez de relatar apenas um valor, como a média amostral $\bar{x}$ , ele relata um intervalo centrado nessa média com uma margem de erro dos dois lados.

A estrutura básica é:

\bar{x} \pm \text{valor crítico} \times \text{erro padrão}

Para uma média, o erro padrão é:

SE = \frac{\text{desvio padrão}}{\sqrt{n}}

Assim, o intervalo fica mais estreito quando o desvio padrão é menor ou quando o tamanho da amostra $n$ é maior.

O que o nível de confiança significa

Um nível de confiança de 90%, 95% ou 99% descreve a confiabilidade do método no longo prazo. Se você coletasse amostras aleatórias repetidamente e construísse intervalos da mesma maneira, cerca de 90%, 95% ou 99% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional.

Uma confiança maior exige um valor crítico maior, então um intervalo de 99% é mais largo do que um intervalo de 95% usando os mesmos dados. Um intervalo de 90% é mais estreito, mas usa um método com uma taxa de cobertura menor no longo prazo.

Intervalos bilaterais e unilaterais

Esta calculadora constrói um intervalo de confiança bilateral. Isso significa que o intervalo tem um limite inferior e um limite superior, e a incerteza é dividida igualmente entre as duas caudas da distribuição.

Por exemplo, um intervalo bilateral de 95% deixa 5% fora do intervalo: 2,5% na cauda esquerda e 2,5% na cauda direita. Portanto, o valor crítico vem do percentil 97,5:

1 - \frac{1 - 0.95}{2} = 0.975

Um limite de confiança unilateral responde a uma pergunta diferente. Um limite superior responde "quão grande a média populacional poderia ser de forma razoável?" e tem a forma $\bar{x} + \text{valor crítico} \times SE$ . Um limite inferior responde "quão pequena a média populacional poderia ser de forma razoável?" e tem a forma $\bar{x} - \text{valor crítico} \times SE$ . Às vezes as pessoas chamam isso de limites à direita ou à esquerda, mas limite superior e limite inferior costumam ser mais claros.

Como limites unilaterais colocam toda a probabilidade de erro em um só lado, seus valores críticos são diferentes dos valores bilaterais mostrados aqui. Um limite unilateral de 95% usa o percentil 95, não o percentil 97,5 usado por um intervalo bilateral de 95%. Use o resultado bilateral quando quiser uma faixa ao redor da média; use um limite unilateral apenas quando a pergunta estatística tratar especificamente de um limite superior ou inferior.

Valor z ou valor t

Use um valor z quando o desvio padrão populacional $\sigma$ é conhecido. Isso é comum em exercícios de livro, quando $\sigma$ é fornecido explicitamente.

Use um valor t quando o desvio padrão vem da amostra, escrito como $s$ . O valor t depende dos graus de liberdade:

df = n - 1

A distribuição t tem caudas mais pesadas para amostras pequenas, o que torna o intervalo mais largo. À medida que o tamanho da amostra cresce, o valor t se aproxima do valor z.

É por isso que a calculadora pergunta se o seu desvio padrão é amostral $s$ ou populacional $\sigma$ . No modo Auto, amostra $s$ usa um valor t e população $\sigma$ usa um valor z. A seleção manual de valor z ou valor t está disponível quando uma aula, tabela ou fluxo de trabalho exige um método específico.

Como usar a calculadora

Insira a média amostral, o desvio padrão, o tamanho da amostra e o nível de confiança. Escolha se o desvio padrão é amostral $s$ ou populacional $\sigma$ . Deixe o método em Auto para a maioria dos problemas, ou escolha manualmente valor z ou valor t quando sua tarefa ou tabela de consulta pedir.

Se você tem observações brutas em vez de estatísticas resumidas, use o auxiliar de dados brutos. Cole valores separados por vírgulas, espaços ou quebras de linha e aplique-os para preencher $\bar{x}$ , o desvio padrão amostral e $n$ .

Exemplo resolvido

Suponha que uma amostra tenha média $\bar{x}=42.5$ , desvio padrão amostral $s=6.2$ , tamanho da amostra $n=25$ e nível de confiança de 95%.

Como o desvio padrão vem da amostra, use um valor t com:

df = 25 - 1 = 24

Para 95% de confiança e $df=24$ , o valor crítico é aproximadamente:

t_{0.975,24} = 2.0639

O erro padrão é:

SE = \frac{6.2}{\sqrt{25}} = 1.24

A margem de erro é:

ME = 2.0639 \times 1.24 \approx 2.56

O intervalo de confiança é:

42.5 \pm 2.56 = [39.94,\ 45.06]

Em linguagem prática: no nível de confiança de 95%, estima-se que a média populacional esteja entre aproximadamente 39,94 e 45,06. A margem de erro, cerca de 2,56, é a distância da média amostral até qualquer extremidade do intervalo.

Suposições e cuidados

Os dados devem vir de uma amostra aleatória ou representativa. As observações devem ser independentes, ou seja, uma observação não deve determinar outra.

A população deve ser aproximadamente normal, ou o tamanho da amostra deve ser grande o suficiente para que a aproximação normal seja razoável. Valores atípicos, forte assimetria, problemas de medição e amostras enviesadas podem tornar o intervalo enganoso mesmo quando a fórmula é calculada corretamente.

Perguntas frequentes

Devo usar valor z ou valor t?

Use valor z quando o desvio padrão populacional $\sigma$ é conhecido. Use valor t quando seu desvio padrão é o desvio padrão amostral $s$ . Na maioria dos problemas reais com resumo amostral, o valor t é a opção padrão mais segura.

Por que um tamanho de amostra menor torna o intervalo mais largo?

O erro padrão divide por $\sqrt{n}$ . Um $n$ menor gera um erro padrão maior, então a margem de erro aumenta.

Por que um nível de confiança maior torna o intervalo mais largo?

Um nível de confiança maior usa um valor crítico maior. Esse valor crítico maior multiplica o erro padrão, aumentando a margem de erro.

Esta calculadora é bilateral ou unilateral?

Ela é bilateral. A calculadora informa tanto um limite inferior quanto um limite superior, com a probabilidade restante dividida igualmente entre as duas caudas. Para um limite superior ou inferior unilateral, use um valor crítico unilateral em vez do valor crítico bilateral mostrado nos resultados.

O que acontece se o desvio padrão for 0?

O erro padrão é 0, a margem de erro é 0 e o intervalo se reduz à média. Isso pode acontecer quando todos os valores observados são idênticos, mas também deve levar você a verificar se a entrada de dados está correta.

Posso usar isso para dados não normais?

Às vezes. Se o tamanho da amostra for grande e os dados não forem extremamente assimétricos nem dominados por valores atípicos, a aproximação normal pode ser razoável. Para amostras pequenas de dados muito não normais, tenha cautela e considere um método projetado para essa situação.