O que o escore z revela

O escore z mede o quanto um valor bruto está afastado da média, expresso em unidades de desvio padrão. Se um valor tem escore z igual a 2, ele está dois desvios padrão acima da média. Se o escore z é −1,5, ele está um desvio e meio abaixo da média.

A fórmula é:

Aqui, $x$ é o valor bruto, $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. O desvio padrão deve ser positivo, pois representa a dispersão dos dados.

Interpretando escores z positivos, negativos e zero

• Um escore z positivo significa que o valor bruto está acima da média.
• Um escore z negativo significa que o valor bruto está abaixo da média.
• Um escore z zero significa que o valor bruto é exatamente igual à média.

A magnitude também importa. Um escore z próximo de 0 está perto da média, enquanto um escore z como 2 ou −2 está mais afastado do centro. Escores z muito grandes ou muito pequenos devem ser interpretados em contexto: podem indicar uma observação incomum, um valor discrepante relevante, ou simplesmente uma distribuição em que valores extremos são esperados.

De valores brutos à distribuição normal padrão

A padronização converte um valor bruto de sua escala original para a escala normal padrão, onde a média é 0 e o desvio padrão é 1. Isso permite comparar valores de diferentes medidas com distribuição normal em uma mesma escala.

Uma vez obtido o escore z, é possível relacioná-lo à distribuição normal padrão:

• A probabilidade de cauda esquerda, escrita como $P(X \le x)$, é a área sob a curva à esquerda do valor bruto.
• O percentil é a probabilidade de cauda esquerda expressa em porcentagem. Um percentil de 84% significa que aproximadamente 84% dos valores com distribuição normal estão nesse ponto ou abaixo dele.
• A probabilidade de cauda direita, escrita como $P(X > x)$, é a área sob a curva à direita do valor bruto.

Essas probabilidades pressupõem o modelo normal. Se a distribuição original for fortemente assimétrica, apresentar múltiplos picos ou conter valores discrepantes extremos, as probabilidades normais podem ser menos confiáveis, ainda que a fórmula do escore z continue padronizando o valor corretamente.

Exemplo de cálculo

Suponha que uma nota de prova seja $x = 85$, a média da turma seja $\mu = 70$ e o desvio padrão seja $\sigma = 15$.

A nota bruta está um desvio padrão acima da média. Pelo modelo normal, um escore z igual a 1 tem probabilidade de cauda esquerda de aproximadamente 0,8413, o que equivale a estar em torno do percentil 84. A probabilidade de cauda direita é de aproximadamente 0,1587.

Cuidados importantes

• $\sigma$ deve ser maior que 0. Um desvio padrão igual a 0 significa que não há dispersão nos dados; a fórmula do escore z implicaria uma divisão por zero.
• As probabilidades normais assumem que a distribuição é aproximadamente normal. O escore z em si é apenas uma distância padronizada, mas a interpretação de percentis e probabilidades de cauda utiliza a curva normal.
• Escores z extremos precisam de contexto. Em algumas áreas, valores além de 3 desvios padrão são raros; em outras, com distribuições de cauda pesada, são menos surpreendentes.

Perguntas frequentes

Um escore z mais alto é sempre melhor?

Não. Um escore z mais alto significa apenas que o valor está mais acima da média. Se isso é positivo ou negativo depende do que a variável mede. Uma nota mais alta pode ser algo bom, mas uma pressão arterial mais elevada pode ser um sinal de alerta.

O que significa um escore z negativo?

Um escore z negativo significa que o valor bruto está abaixo da média. Por exemplo, $z = -2$ indica que o valor está dois desvios padrão abaixo da média.

Percentil é a mesma coisa que probabilidade?

Eles são intimamente relacionados, mas geralmente expressos de formas diferentes. A probabilidade de cauda esquerda é um decimal que representa a área sob a curva, como 0,8413. O percentil expressa a mesma posição em porcentagem, como o percentil 84.