Z限界値計算ツール

Z限界値の意味

限界値は、標準正規分布の曲線上にある境界値です。仮説検定では棄却域を定める基準になり、検定統計量がその境界を超えると、帰無仮説 $H_0$ の下では十分に起こりにくい結果として棄却します。信頼区間では、推定値の両側に何個分の標準誤差を取るかを限界値が決めます。

Z限界値を求めるこの計算ツールでは、標準正規分布 $Z \sim N(0,1)$ を使って逆算を行います。既知の z スコアの左側確率を求めるのではなく、$\alpha=0.05$ のような面積や $95\%$ のような信頼水準から、その面積を作る z 値を求めます。

有意水準 α と信頼水準

有意水準 $\alpha$ は棄却域に割り当てる確率です。有意水準が $5\%$ なら、$\alpha=0.05$ を意味します。

信頼水準は信頼区間の中央に含める割合で、通常は $1-\alpha$ と書きます。信頼水準 $95\%$ は次に対応します。

両側の限界値では、この全体の alpha を左右に等しく分けます。

片側の限界値では、alpha 全体を選んだ側にそのまま置きます。

片側検定と両側検定での限界値

右側検定では棄却域が曲線の右側にあるため、計算ツールは次を求めます。

左側検定では棄却域が曲線の左側にあります。

両側検定では棄却域が両端に分かれます。

そのため、両側 $95\%$ の Z限界値はおよそ $\pm 1.96$ になり、片側 $95\%$ の場合は右側で約 $1.645$、左側で約 $-1.645$ になります。

この計算ツールの使い方

1. 両側、右側、左側のいずれかを選びます。
2. 入力が信頼水準か、有意水準 $\alpha$ かを選びます。
3. プリセットの信頼水準を使うか、任意の値を入力します。
4. 限界値と棄却域の判定文を確認します。
5. 検定統計量を限界値または境界と比較します。

例えば、両側検定で $\alpha=0.05$ なら棄却規則は $z \le -1.96$ または $z \ge 1.96$ です。右側検定で $\alpha=0.05$ なら、棄却規則は $z \ge 1.645$ です。

網掛けされた alpha 領域の見方

曲線の網掛け部分が棄却域です。両側検定では、どちらの方向の極端な値も帰無仮説に不利になるため、計算ツールは両端を塗ります。右側検定では右側だけ、左側検定では左側だけが網掛けされます。

縦線は、棄却しない領域と棄却域の境界です。検定統計量がその線を越えていれば、網掛けされた alpha 領域に入っています。

信頼区間での限界値

両側の z 信頼区間では、同じ両側の逆算を使います。$95\%$ 区間では区間の外に $\alpha=0.05$ が残り、各側に $0.025$ ずつ入るので、限界値は $z^* \approx 1.96$ です。誤差幅は次の式で表せます。