Zスコア確率を理解する

標準正規分布（Standard Normal Distribution）は、平均 $\mu = 0$、標準偏差 $\sigma = 1$ の正規分布です。この尺度上の値は $Z$ と表記され、曲線上の特定の位置をZスコアと呼びます。

Zスコア確率とは、標準正規曲線の下の面積を指します。たとえば $P(Z < z)$ は、Zスコア $z$ の左側にある面積です。曲線下の全面積が1であるため、これらの面積は確率またはパーセンテージとして読み取ることができます。

累積分布関数（CDF）の役割

標準正規累積分布関数（CDF）は $\Phi(z)$ と書かれ、左側確率を与えます：

$\Phi(z)$ が求まれば、他の一般的な確率の形は余事象、差分、および対称性から導き出せます。

確率の各形式の読み方

• 左側確率：$P(Z < z)=\Phi(z)$ は $z$ の左側すべてを色付けします。
• 右側確率：$P(Z > z)=1-\Phi(z)$ は $z$ の右側すべてを色付けします。
• 2つのZスコアの間：$P(z_1 < Z < z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$。小さいZスコアを先に使います。
• 中心確率：$P(-z < Z < z)=\Phi(z)-\Phi(-z)$。正の距離 $z$ に対して適用されます。
• 両側確率：$P(Z < -z \text{ または } Z > z)=1-[\Phi(z)-\Phi(-z)]$。中心の外側の面積を表します。

1つのZスコアの計算例

$z=1.25$ の場合、CDF値はおよそ：

したがって $P(Z<1.25)\approx 0.8944$ であり、右側確率は：

平均から $z=1.25$ までの面積は $0.8944-0.5=0.3944$ です。$-1.25$ から $1.25$ の対称的な中心面積は約 $0.7888$ であり、2つの外側のテールには約 $0.2112$ が残ります。

2つのZスコアの計算例

$P(-1 < Z < 2)$ を求める場合、両端点でCDFを使います：

標準正規の値を用いると、$\Phi(2)\approx 0.9772$、$\Phi(-1)\approx 0.1587$ なので：

計算機は2つの外側の部分、$P(Z<-1)$ および $P(Z>2)$ も表示します。

グラフの色付けと公式の対応

色付けされた各曲線は、公式が示す同じ面積を視覚化しています。左側確率の結果は、左端からZマーカーまでを色付けします。右側確率の結果は、マーカーから右端までを色付けします。区間の確率の結果は、2つのマーカー間の部分だけを色付けします。両側確率や外側確率の結果は、両端を色付けして中央を空白のままにします。

注意事項

• これらの確率は標準正規分布を使用します。$Z$ が標準正規モデルに従う場合に直接適用されます。
• 連続分布では、$P(Z < z)$ と $P(Z \le z)$ は実質的に同じです。単一の点の確率が0であるためです。
• 正規分布に従わないデータの場合、Zスコア確率は近似にすぎない可能性があります。Zスコアは標準化された距離を表すことができますが、正規確率の解釈はモデルに依存します。

よくある質問

なぜ $P(Z < 0)=0.5$ なのか？

標準正規曲線は0を中心に対称です。全面積の半分が平均より左側にあり、残りの半分が右側にあるため、$\Phi(0)=0.5$ となります。

片側確率と両側確率の違いは何ですか？

片側確率は、カットオフから一方向だけを見ます（例：$P(Z>z)$）。両側確率は両方の極端を合わせます（例：$P(Z<-z \text{ または } Z>z)$）。

なぜ計算機は中心確率と外側確率に $-z$ と $z$ を使うのですか？

これらの形式は、平均を中心とした対称な問いに答えるものです。中心確率は0の両側で同じ距離内にある面積を問い、外側（両側）確率はその距離を超えたどちらかのテールにある面積を問います。