Comprendre les probabilités du score z

La loi normale centrée réduite est la loi normale de moyenne $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma = 1$. Une valeur sur cette échelle est notée $Z$, et un emplacement spécifique sur la courbe est appelé score z.

Une probabilité de score z représente une aire sous la courbe normale centrée réduite. Par exemple, $P(Z < z)$ est l'aire à gauche du score z noté $z$. Comme l'aire totale sous la courbe est égale à 1, ces aires peuvent être lues comme des probabilités ou exprimées en pourcentages.

Le rôle de la fonction de répartition

La fonction de répartition (CDF) de la loi normale centrée réduite, notée $\Phi(z)$, donne la probabilité de la queue gauche :

Une fois $\Phi(z)$ connue, les autres formes courantes de probabilité s'obtiennent par complémentarité, différences et symétrie.

Comment interpréter les formes de probabilité

• Probabilité de la queue gauche : $P(Z < z)=\Phi(z)$ ombre tout ce qui se trouve à gauche de $z$.
• Probabilité de la queue droite : $P(Z > z)=1-\Phi(z)$ ombre tout ce qui se trouve à droite de $z$.
• Entre deux scores z : $P(z_1 < Z < z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$ en utilisant en premier le score z le plus petit.
• Probabilité centrale : $P(-z < Z < z)=\Phi(z)-\Phi(-z)$ pour une distance positive $z$.
• Probabilité bilatérale : $P(Z < -z \text{ ou } Z > z)=1-[\Phi(z)-\Phi(-z)]$ pour l'aire en dehors du centre.

Exemple avec un score z

Supposons $z=1,25$. La valeur de la fonction de répartition est approximativement :

Donc $P(Z<1,25)\approx 0,8944$, et la probabilité de la queue droite est :

L'aire entre la moyenne et $z=1,25$ est $0,8944-0,5=0,3944$. L'aire centrale symétrique entre $-1,25$ et $1,25$ est d'environ $0,7888$, laissant environ $0,2112$ dans les deux queues extérieures.

Exemple avec deux scores z

Supposons que l'on veuille calculer $P(-1 < Z < 2)$. On utilise la fonction de répartition aux deux extrémités :

En utilisant les valeurs normales centrées réduites, $\Phi(2)\approx 0,9772$ et $\Phi(-1)\approx 0,1587$, donc :

Le calculateur fournit également les deux parties extérieures : $P(Z<-1)$ et $P(Z>2)$.

Comment l'ombrage du graphique correspond à la formule

Chaque courbe ombrée illustre la même aire désignée par la formule. Un résultat de queue gauche ombre depuis l'extrémité gauche jusqu'au repère z. Un résultat de queue droite ombre depuis le repère jusqu'à l'extrémité droite. Un résultat entre deux valeurs ombre uniquement l'intervalle entre les deux repères. Un résultat bilatéral ou extérieur ombre les deux extrémités et laisse le centre sans ombrage.

Précautions importantes

• Ces probabilités utilisent la loi normale centrée réduite. Elles s'appliquent directement lorsque $Z$ suit un modèle normal standard.
• Pour une distribution continue, $P(Z < z)$ et $P(Z \le z)$ sont pratiquement identiques, car un point isolé a une probabilité nulle.
• Pour des données non normales, les probabilités de score z peuvent n'être qu'une approximation. Le score z décrit toujours la distance standardisée, mais l'interprétation en termes de probabilité normale dépend du modèle.

Foire aux questions

Pourquoi $P(Z < 0)=0,5$ ?

La courbe normale centrée réduite est symétrique par rapport à 0. La moitié de l'aire totale se trouve à gauche de la moyenne et l'autre moitié à droite, donc $\Phi(0)=0,5$.

Quelle est la différence entre la probabilité unilatérale et bilatérale ?

Une probabilité unilatérale examine une seule direction à partir d'un seuil, par exemple $P(Z>z)$. Une probabilité bilatérale combine les deux extrêmes, par exemple $P(Z<-z \text{ ou } Z>z)$.

Pourquoi le calculateur utilise-t-il $-z$ et $z$ pour les probabilités centrale et extérieure ?

Ces formes répondent à des questions symétriques autour de la moyenne. La probabilité centrale demande quelle aire se trouve à la même distance de 0 des deux côtés, tandis que la probabilité extérieure demande quelle aire se trouve au-delà de cette distance dans les deux queues.