Calculatrice d'intervalle de confiance pour une moyenne

Estimez la moyenne d'une population à partir de statistiques résumées avec des valeurs critiques z ou t.

Saisir les statistiques résumées

Moyenne d'échantillon

\bar{x}

Moyenne des observations de l'échantillon.

Taille de l'échantillon

n

Nombre d'observations utilisées pour l'estimation.

Écart-type

s

Saisissez la valeur, puis indiquez si elle provient de l'échantillon ou de la population.

Cet écart-type est

Estimé à partir du même échantillon. Auto utilise un score t.

Niveau de confiance

Utilisez une valeur prédéfinie ou saisissez un pourcentage personnalisé. Les valeurs personnalisées courantes vont de 50 à 99,99.

Observations

Remplit

\bar{x}

moyenne

s

écart d'échantillon

n

taille de l'échantillon

Aperçu du résumé

$n$

0

$\bar{x}$

--

$s$

--

Méthode de la valeur critique

Méthode choisie automatiquement

score t

t_{1-\alpha/2,\ 24}

df = 24

Auto a choisi un score t avec df = 24 parce que l'écart-type est estimé à partir de l'échantillon.

Valeur critique

2.063899

Résultats

Intervalle de confiance

$39.940766 \le \mu \le 45.059234$

Formule

\bar{x} - ME \le \mu \le \bar{x} + ME

Valeurs

42.5 - 2.559234 \le \mu \le 42.5 + 2.559234

Au niveau de confiance de 95%, la moyenne de la population est estimée entre 39.940766 et 45.059234.

Auto a choisi un score t avec df = 24 parce que l'écart-type est estimé à partir de l'échantillon.

Borne inférieure

39.940766

Borne supérieure

45.059234

Moyenne d'échantillon $\bar{x}$

42.5

Marge d'erreur

2.559234

Erreur type $\mathrm{SE}$

1.24

Valeur critique $t_{1-\alpha/2,df}$

2.063899

Méthode

score t

df

24

Distribution et valeurs critiques

Zone de confiance de 95%

\pm t_{1-\alpha/2,\ 24}=\pm 2.0639

ME=2.5592

Inférieure39.940766

Moyenne42.5

Supérieure45.059234

Calcul étape par étape

1. Identifier les entrées

\bar{x}=42.5,\ s=6.2,\ n=25,\ C=95\%,\ \text{method}=t\text{-score}

2. Calculer l'erreur type

SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{6.2}{\sqrt{25}}=1.24

3. Trouver la valeur critique

df=n-1=24,\ t_{1-\alpha/2,\ 24}=2.063899

4. Calculer la marge d'erreur

ME=2.063899\times 1.24=2.559234

5. Calculer l'intervalle de confiance

\bar{x}\pm ME=42.5\pm 2.559234\Rightarrow 39.940766 \le \mu \le 45.059234

Comprendre un intervalle de confiance pour une moyenne

Un intervalle de confiance pour une moyenne utilise des données d'échantillon pour estimer une plage raisonnable pour une moyenne de population inconnue. Au lieu de rapporter une seule valeur, comme la moyenne d'échantillon $\bar{x}$ , il rapporte un intervalle centré sur cette moyenne avec une marge d'erreur de chaque côté.

La structure de base est :

\bar{x} \pm \text{valeur critique} \times \text{erreur type}

Pour une moyenne, l'erreur type est :

SE = \frac{\text{écart-type}}{\sqrt{n}}

L'intervalle devient donc plus étroit lorsque l'écart-type est plus petit ou lorsque la taille d'échantillon $n$ est plus grande.

Ce que signifie le niveau de confiance

Un niveau de confiance de 90 %, 95 % ou 99 % décrit la fiabilité à long terme de la méthode. Si vous préleviez des échantillons aléatoires à répétition et construisiez les intervalles de la même façon, environ 90 %, 95 % ou 99 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne de la population.

Un niveau de confiance plus élevé exige une valeur critique plus grande. Un intervalle à 99 % est donc plus large qu'un intervalle à 95 % avec les mêmes données. Un intervalle à 90 % est plus étroit, mais il utilise une méthode dont le taux de couverture à long terme est plus faible.

Intervalles bilatéraux et unilatéraux

Cette calculatrice construit un intervalle de confiance bilatéral. Cela signifie que l'intervalle a une extrémité inférieure et une extrémité supérieure, et que l'incertitude est répartie également entre les deux queues de la distribution.

Par exemple, un intervalle bilatéral à 95 % laisse 5 % à l'extérieur de l'intervalle : 2,5 % dans la queue gauche et 2,5 % dans la queue droite. La valeur critique vient donc du 97,5e percentile :

1 - \frac{1 - 0.95}{2} = 0.975

Une borne de confiance unilatérale répond à une autre question. Une borne supérieure répond à « jusqu'où la moyenne de la population pourrait-elle raisonnablement monter ? » et prend la forme $\bar{x} + \text{valeur critique} \times SE$ . Une borne inférieure répond à « jusqu'où la moyenne de la population pourrait-elle raisonnablement descendre ? » et prend la forme $\bar{x} - \text{valeur critique} \times SE$ . On parle parfois de bornes à droite ou à gauche, mais borne supérieure et borne inférieure sont généralement plus claires.

Comme les bornes unilatérales placent toute la probabilité d'erreur d'un seul côté, leurs valeurs critiques sont différentes des valeurs bilatérales affichées ici. Une borne unilatérale à 95 % utilise le 95e percentile, et non le 97,5e percentile utilisé par un intervalle bilatéral à 95 %. Utilisez le résultat bilatéral lorsque vous voulez une plage autour de la moyenne ; utilisez une borne unilatérale uniquement lorsque la question statistique concerne précisément une limite supérieure ou inférieure.

Score z ou score t

Utilisez un score z lorsque l'écart-type de la population $\sigma$ est connu. C'est fréquent dans les exercices de manuel où $\sigma$ est fourni explicitement.

Utilisez un score t lorsque l'écart-type vient de l'échantillon, noté $s$ . Le score t dépend des degrés de liberté :

df = n - 1

La loi t a des queues plus épaisses pour les petits échantillons, ce qui rend l'intervalle plus large. À mesure que la taille d'échantillon augmente, le score t se rapproche du score z.

C'est pourquoi la calculatrice demande si votre écart-type est l'écart-type d'échantillon $s$ ou l'écart-type de population $\sigma$ . En mode Auto, l'échantillon $s$ utilise un score t et la population $\sigma$ utilise un score z. La sélection manuelle du score z ou du score t est disponible lorsqu'un cours, une table ou une méthode de travail exige une méthode précise.

Comment utiliser la calculatrice

Saisissez la moyenne d'échantillon, l'écart-type, la taille d'échantillon et le niveau de confiance. Choisissez si l'écart-type est celui de l'échantillon $s$ ou de la population $\sigma$ . Laissez la méthode sur Auto pour la plupart des problèmes, ou choisissez manuellement score z ou score t lorsque votre exercice ou votre table de référence le demande.

Si vous avez des observations brutes au lieu de statistiques résumées, utilisez l'aide pour données brutes. Collez des valeurs séparées par des virgules, des espaces ou des sauts de ligne, puis appliquez-les pour remplir $\bar{x}$ , l'écart-type d'échantillon et $n$ .

Exemple détaillé

Supposons qu'un échantillon ait une moyenne $\bar{x}=42.5$ , un écart-type d'échantillon $s=6.2$ , une taille d'échantillon $n=25$ et un niveau de confiance de 95 %.

Comme l'écart-type provient de l'échantillon, utilisez un score t avec :

df = 25 - 1 = 24

Pour une confiance de 95 % et $df=24$ , la valeur critique est environ :

t_{0.975,24} = 2.0639

L'erreur type est :

SE = \frac{6.2}{\sqrt{25}} = 1.24

La marge d'erreur est :

ME = 2.0639 \times 1.24 \approx 2.56

L'intervalle de confiance est :

42.5 \pm 2.56 = [39.94,\ 45.06]

En langage courant : au niveau de confiance de 95 %, la moyenne de la population est estimée entre environ 39,94 et 45,06. La marge d'erreur, environ 2,56, est la distance entre la moyenne d'échantillon et chacune des extrémités de l'intervalle.

Hypothèses et précautions

Les données doivent provenir d'un échantillon aléatoire ou représentatif. Les observations doivent être indépendantes, c'est-à-dire qu'une observation ne doit pas déterminer une autre.

La population doit être à peu près normale, ou la taille d'échantillon doit être suffisamment grande pour que l'approximation normale soit raisonnable. Les valeurs aberrantes, une forte asymétrie, des problèmes de mesure et des échantillons biaisés peuvent rendre l'intervalle trompeur même lorsque la formule est calculée correctement.

FAQ

Dois-je utiliser un score z ou un score t ?

Utilisez un score z lorsque l'écart-type de la population $\sigma$ est connu. Utilisez un score t lorsque votre écart-type est l'écart-type d'échantillon $s$ . Dans la plupart des problèmes réels fondés sur des résumés d'échantillon, le score t est le choix par défaut le plus prudent.

Pourquoi une taille d'échantillon plus petite rend-elle l'intervalle plus large ?

L'erreur type divise par $\sqrt{n}$ . Un $n$ plus petit donne une erreur type plus grande, donc la marge d'erreur augmente.

Pourquoi un niveau de confiance plus élevé rend-il l'intervalle plus large ?

Un niveau de confiance plus élevé utilise une valeur critique plus grande. Cette valeur critique plus grande multiplie l'erreur type, ce qui augmente la marge d'erreur.

Cette calculatrice est-elle bilatérale ou unilatérale ?

Elle est bilatérale. La calculatrice indique à la fois une borne inférieure et une borne supérieure, avec la probabilité restante répartie également entre les deux queues. Pour une borne supérieure ou inférieure unilatérale, utilisez une valeur critique unilatérale au lieu de la valeur critique bilatérale affichée dans les résultats.

Que se passe-t-il si l'écart-type est égal à 0 ?

L'erreur type est 0, la marge d'erreur est 0 et l'intervalle se réduit à la moyenne. Cela peut se produire lorsque toutes les valeurs observées sont identiques, mais cela doit aussi vous inciter à vérifier si la saisie des données est correcte.

Puis-je l'utiliser pour des données non normales ?

Parfois. Si la taille d'échantillon est grande et que les données ne sont pas extrêmement asymétriques ni dominées par des valeurs aberrantes, l'approximation normale peut être raisonnable. Pour de petits échantillons issus de données fortement non normales, soyez prudent et envisagez une méthode conçue pour cette situation.