Ce que le score z vous apprend

Le score z mesure l'écart entre une valeur brute et la moyenne, exprimé en unités d'écart-type. Un score z de 2 signifie que la valeur brute se situe deux écarts-types au-dessus de la moyenne. Un score z de −1,5 signifie qu'elle se trouve un écart-type et demi en dessous.

La formule est la suivante :

Ici, $x$ est la valeur brute, $\mu$ est la moyenne et $\sigma$ est l'écart-type. L'écart-type doit être strictement positif, car il représente la dispersion des données.

Interpréter les scores z positifs, négatifs et nuls

• Un score z positif signifie que la valeur brute est supérieure à la moyenne.
• Un score z négatif signifie que la valeur brute est inférieure à la moyenne.
• Un score z nul signifie que la valeur brute est exactement égale à la moyenne.

L'amplitude compte également. Un score z proche de 0 est près de la moyenne, tandis qu'un score z de 2 ou −2 s'en éloigne davantage. Les scores z très élevés ou très faibles doivent être interprétés en contexte : ils peuvent signaler une observation inhabituelle, une valeur aberrante significative, ou simplement une distribution dans laquelle les valeurs extrêmes sont attendues.

Des valeurs brutes à la loi normale centrée réduite

La standardisation transforme une valeur brute depuis son échelle d'origine vers l'échelle normale centrée réduite, où la moyenne vaut 0 et l'écart-type vaut 1. Cela permet de comparer des valeurs issues de différentes distributions normales sur une même échelle.

Une fois le score z connu, il peut être relié à la loi normale :

• La probabilité de queue gauche, notée $P(X \le x)$, est l'aire sous la courbe à gauche de la valeur brute.
• Le centile est la probabilité de queue gauche exprimée en pourcentage. Un centile de 84 % signifie qu'environ 84 % des valeurs d'une distribution normale se trouvent à ce niveau ou en dessous.
• La probabilité de queue droite, notée $P(X > x)$, est l'aire sous la courbe à droite de la valeur brute.

Ces probabilités reposent sur le modèle normal. Si la distribution d'origine est fortement asymétrique, multimodale ou comporte des valeurs aberrantes importantes, les probabilités normales peuvent être moins fiables, même si la formule du score z continue de standardiser correctement la valeur.

Exemple de calcul

Supposons qu'une note d'examen soit $x = 85$, que la moyenne de la classe soit $\mu = 70$ et que l'écart-type soit $\sigma = 15$.

La note brute se situe un écart-type au-dessus de la moyenne. D'après le modèle normal, un score z de 1 correspond à une probabilité de queue gauche d'environ 0,8413, soit approximativement le 84e centile. La probabilité de queue droite est d'environ 0,1587.

Mises en garde importantes

• $\sigma$ doit être supérieur à 0. Un écart-type nul signifie qu'il n'y a aucune dispersion ; la formule du score z impliquerait alors une division par zéro.
• Les probabilités normales supposent que la distribution est raisonnablement normale. Le score z lui-même n'est qu'une distance standardisée ; l'interprétation des centiles et des probabilités de queue fait appel à la courbe normale.
• Les scores z extrêmes nécessitent du contexte. Dans certains domaines, des valeurs au-delà de 3 écarts-types sont rares ; dans d'autres, avec des distributions à queues épaisses, elles sont moins surprenantes.

Questions fréquentes

Un score z plus élevé est-il toujours meilleur ?

Non. Un score z plus élevé signifie seulement que la valeur est plus au-dessus de la moyenne. Si c'est souhaitable ou non dépend de ce que mesure la variable. Une note d'examen plus élevée peut être positive, mais une tension artérielle plus élevée peut être un signal d'alarme.

Que signifie un score z négatif ?

Un score z négatif signifie que la valeur brute est inférieure à la moyenne. Par exemple, $z = -2$ indique que la valeur se trouve deux écarts-types en dessous de la moyenne.

Le centile est-il la même chose que la probabilité ?

Ils sont étroitement liés, mais s'expriment généralement différemment. La probabilité de queue gauche est une valeur décimale représentant l'aire sous la courbe, par exemple 0,8413. Le centile exprime la même position en pourcentage, soit environ le 84e centile.