Comprensión de las probabilidades de puntuación z

La distribución normal estándar es la distribución normal con media $\mu = 0$ y desviación estándar $\sigma = 1$. Un valor en esta escala se escribe como $Z$, y una posición específica en la curva se llama puntuación z.

Una probabilidad de puntuación z representa un área bajo la curva normal estándar. Por ejemplo, $P(Z < z)$ es el área a la izquierda de la puntuación $z$. Dado que el área total bajo la curva es 1, estas áreas pueden interpretarse como probabilidades o como porcentajes.

El papel de la CDF

La función de distribución acumulada (CDF) normal estándar, denotada $\Phi(z)$, proporciona la probabilidad de cola izquierda:

Una vez que se conoce $\Phi(z)$, otras formas habituales de probabilidad se derivan mediante complementos, diferencias y simetría.

Cómo interpretar las formas de probabilidad

• Probabilidad de cola izquierda: $P(Z < z)=\Phi(z)$ sombrea todo lo que está a la izquierda de $z$.
• Probabilidad de cola derecha: $P(Z > z)=1-\Phi(z)$ sombrea todo lo que está a la derecha de $z$.
• Entre dos puntuaciones z: $P(z_1 < Z < z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$, usando primero la puntuación z menor.
• Probabilidad central: $P(-z < Z < z)=\Phi(z)-\Phi(-z)$ para una distancia positiva $z$.
• Probabilidad de dos colas: $P(Z < -z \text{ o } Z > z)=1-[\Phi(z)-\Phi(-z)]$ para el área fuera del centro.

Ejemplo con una puntuación z

Suponga que $z=1.25$. El valor de la CDF es aproximadamente:

Entonces $P(Z<1.25)\approx 0.8944$, y la probabilidad de cola derecha es:

El área entre la media y $z=1.25$ es $0.8944-0.5=0.3944$. El área central simétrica entre $-1.25$ y $1.25$ es aproximadamente $0.7888$, lo que deja cerca de $0.2112$ en las dos colas externas.

Ejemplo con dos puntuaciones z

Suponga que desea $P(-1 < Z < 2)$. Utilice la CDF en ambos extremos:

Usando valores normales estándar, $\Phi(2)\approx 0.9772$ y $\Phi(-1)\approx 0.1587$, por lo tanto:

La calculadora también muestra las dos piezas externas: $P(Z<-1)$ y $P(Z>2)$.

Cómo el sombreado de la gráfica corresponde a la fórmula

Cada curva sombreada ilustra la misma área descrita por la fórmula. Un resultado de cola izquierda sombrea desde el extremo izquierdo hasta el marcador z. Un resultado de cola derecha sombrea desde el marcador hasta el extremo derecho. Un resultado entre dos valores sombrea solo el intervalo entre los dos marcadores. Un resultado de dos colas o exterior sombrea ambos extremos y deja el centro sin sombrear.

Precauciones frecuentes

• Estas probabilidades utilizan la distribución normal estándar. Se aplican directamente cuando $Z$ sigue un modelo normal estándar.
• Para una distribución continua, $P(Z < z)$ y $P(Z \le z)$ son prácticamente iguales, ya que un punto individual tiene probabilidad 0.
• Para datos no normales, las probabilidades de puntuación z pueden ser solo una aproximación. La puntuación z sigue describiendo la distancia estandarizada, pero la interpretación de probabilidad normal depende del modelo.

Preguntas frecuentes

¿Por qué $P(Z < 0)=0.5$?

La curva normal estándar es simétrica alrededor de 0. La mitad del área total se encuentra a la izquierda de la media y la otra mitad a la derecha, por lo que $\Phi(0)=0.5$.

¿Cuál es la diferencia entre la probabilidad de una cola y la de dos colas?

Una probabilidad de una cola observa en una sola dirección desde un valor de corte, como $P(Z>z)$. Una probabilidad de dos colas combina ambos extremos, como $P(Z<-z \text{ o } Z>z)$.

¿Por qué la calculadora usa $-z$ y $z$ para las probabilidades central y exterior?

Esas formas responden preguntas simétricas alrededor de la media. La probabilidad central pregunta cuánta área se encuentra dentro de la misma distancia de 0 en ambos lados, mientras que la probabilidad exterior pregunta cuánta área se extiende más allá de esa distancia en cualquier cola.