Calculadora de intervalo de confianza para la media

Estime la media poblacional a partir de estadísticas resumidas con valores críticos z o t.

Introduzca las estadísticas resumidas

Media muestral

\bar{x}

Promedio de las observaciones de la muestra.

Tamaño de muestra

n

Número de observaciones usadas para la estimación.

Desviación estándar

s

Introduzca el valor y luego indique si proviene de la muestra o de la población.

Esta desviación estándar es

Estimada a partir de la misma muestra. Auto usa un valor t.

Nivel de confianza

Use un valor predefinido o introduzca un porcentaje personalizado. Los valores personalizados comunes van de 50 a 99.99.

Observaciones

Completa

\bar{x}

media

s

desviación muestral

n

tamaño de muestra

Vista previa del resumen

$n$

0

$\bar{x}$

--

$s$

--

Método del valor crítico

Método elegido automáticamente

valor t

t_{1-\alpha/2,\ 24}

df = 24

Auto eligió un valor t con df = 24 porque la desviación estándar se estima a partir de la muestra.

Valor crítico

2.063899

Resultados

Intervalo de confianza

$39.940766 \le \mu \le 45.059234$

Fórmula

\bar{x} - ME \le \mu \le \bar{x} + ME

Valores

42.5 - 2.559234 \le \mu \le 42.5 + 2.559234

Con un nivel de confianza de 95%, se estima que la media poblacional está entre 39.940766 y 45.059234.

Auto eligió un valor t con df = 24 porque la desviación estándar se estima a partir de la muestra.

Límite inferior

39.940766

Límite superior

45.059234

Media muestral $\bar{x}$

42.5

Margen de error

2.559234

Error estándar $\mathrm{SE}$

1.24

Valor crítico $t_{1-\alpha/2,df}$

2.063899

Método

valor t

df

24

Distribución y valores críticos

Área de confianza del 95%

\pm t_{1-\alpha/2,\ 24}=\pm 2.0639

ME=2.5592

Inferior39.940766

Media42.5

Superior45.059234

Cálculo paso a paso

1. Identificar las entradas

\bar{x}=42.5,\ s=6.2,\ n=25,\ C=95\%,\ \text{method}=t\text{-score}

2. Calcular el error estándar

SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{6.2}{\sqrt{25}}=1.24

3. Encontrar el valor crítico

df=n-1=24,\ t_{1-\alpha/2,\ 24}=2.063899

4. Calcular el margen de error

ME=2.063899\times 1.24=2.559234

5. Calcular el intervalo de confianza

\bar{x}\pm ME=42.5\pm 2.559234\Rightarrow 39.940766 \le \mu \le 45.059234

Comprender un intervalo de confianza para la media

Un intervalo de confianza para la media usa datos muestrales para estimar un rango razonable para una media poblacional desconocida. En lugar de informar solo un valor, como la media muestral $\bar{x}$ , informa un intervalo centrado en esa media con un margen de error a ambos lados.

La estructura básica es:

\bar{x} \pm \text{valor crítico} \times \text{error estándar}

Para una media, el error estándar es:

SE = \frac{\text{desviación estándar}}{\sqrt{n}}

Por eso el intervalo se vuelve más estrecho cuando la desviación estándar es menor o cuando el tamaño de muestra $n$ es mayor.

Qué significa el nivel de confianza

Un nivel de confianza de 90%, 95% o 99% describe la fiabilidad del método a largo plazo. Si tomara muestras aleatorias repetidamente y construyera intervalos de la misma forma, aproximadamente el 90%, 95% o 99% de esos intervalos contendrían la verdadera media poblacional.

Una confianza mayor requiere un valor crítico más grande, por lo que un intervalo del 99% es más ancho que un intervalo del 95% usando los mismos datos. Un intervalo del 90% es más estrecho, pero usa un método con una tasa de captura menor a largo plazo.

Intervalos bilaterales y unilaterales

Esta calculadora construye un intervalo de confianza bilateral. Eso significa que el intervalo tiene un extremo inferior y un extremo superior, y que la incertidumbre se divide por igual entre las dos colas de la distribución.

Por ejemplo, un intervalo bilateral del 95% deja un 5% fuera del intervalo: 2.5% en la cola izquierda y 2.5% en la cola derecha. Por eso el valor crítico proviene del percentil 97.5:

1 - \frac{1 - 0.95}{2} = 0.975

Un límite de confianza unilateral responde una pregunta distinta. Un límite superior responde "¿qué tan grande podría ser razonablemente la media poblacional?" y tiene la forma $\bar{x} + \text{valor crítico} \times SE$ . Un límite inferior responde "¿qué tan pequeña podría ser razonablemente la media poblacional?" y tiene la forma $\bar{x} - \text{valor crítico} \times SE$ . A veces se describen como límites por la derecha o por la izquierda, pero límite superior y límite inferior suelen ser más claros.

Como los límites unilaterales ponen toda la probabilidad de error en un solo lado, sus valores críticos son diferentes de los valores bilaterales que se muestran aquí. Un límite unilateral del 95% usa el percentil 95, no el percentil 97.5 usado por un intervalo bilateral del 95%. Use el resultado bilateral cuando quiera un rango alrededor de la media; use un límite unilateral solo cuando la pregunta estadística trate específicamente de un límite superior o inferior.

Valor z o valor t

Use un valor z cuando se conoce la desviación estándar poblacional $\sigma$ . Esto es común en problemas de libro de texto donde $\sigma$ se da explícitamente.

Use un valor t cuando la desviación estándar proviene de la muestra, escrita como $s$ . El valor t depende de los grados de libertad:

df = n - 1

La distribución t tiene colas más pesadas en muestras pequeñas, lo que hace que el intervalo sea más ancho. A medida que el tamaño de muestra crece, el valor t se aproxima al valor z.

Por eso la calculadora pregunta si la desviación estándar es muestral $s$ o poblacional $\sigma$ . En modo Auto, la muestra $s$ usa un valor t y la población $\sigma$ usa un valor z. La selección manual de valor z o valor t está disponible cuando una clase, tabla o flujo de trabajo exige un método específico.

Cómo usar la calculadora

Introduzca la media muestral, la desviación estándar, el tamaño de muestra y el nivel de confianza. Elija si la desviación estándar es muestral $s$ o poblacional $\sigma$ . Deje el método en Auto para la mayoría de los problemas, o elija manualmente valor z o valor t cuando su tarea o tabla de consulta lo pida.

Si tiene observaciones sin procesar en lugar de estadísticas resumidas, use el asistente de datos sin procesar. Pegue valores separados por comas, espacios o saltos de línea, y luego aplíquelos para completar $\bar{x}$ , la desviación estándar muestral y $n$ .

Ejemplo resuelto

Suponga que una muestra tiene media $\bar{x}=42.5$ , desviación estándar muestral $s=6.2$ , tamaño de muestra $n=25$ y nivel de confianza 95%.

Como la desviación estándar proviene de la muestra, use un valor t con:

df = 25 - 1 = 24

Para 95% de confianza y $df=24$ , el valor crítico es aproximadamente:

t_{0.975,24} = 2.0639

El error estándar es:

SE = \frac{6.2}{\sqrt{25}} = 1.24

El margen de error es:

ME = 2.0639 \times 1.24 \approx 2.56

El intervalo de confianza es:

42.5 \pm 2.56 = [39.94,\ 45.06]

En lenguaje cotidiano: con un nivel de confianza del 95%, se estima que la media poblacional está entre aproximadamente 39.94 y 45.06. El margen de error, alrededor de 2.56, es la distancia desde la media muestral hasta cualquiera de los extremos del intervalo.

Supuestos y precauciones

Los datos deben provenir de una muestra aleatoria o representativa. Las observaciones deben ser independientes, es decir, una observación no debe determinar otra.

La población debe ser aproximadamente normal, o el tamaño de muestra debe ser lo suficientemente grande para que la aproximación normal sea razonable. Los valores atípicos, la asimetría fuerte, los problemas de medición y las muestras sesgadas pueden hacer que el intervalo sea engañoso incluso cuando la fórmula se calcula correctamente.

Preguntas frecuentes

¿Debo usar valor z o valor t?

Use valor z cuando se conoce la desviación estándar poblacional $\sigma$ . Use valor t cuando su desviación estándar es la desviación estándar muestral $s$ . En la mayoría de los problemas reales con resúmenes muestrales, el valor t es la opción predeterminada más segura.

¿Por qué un tamaño de muestra menor hace que el intervalo sea más ancho?

El error estándar divide por $\sqrt{n}$ . Un $n$ menor produce un error estándar mayor, por lo que aumenta el margen de error.

¿Por qué un nivel de confianza mayor hace que el intervalo sea más ancho?

Un nivel de confianza mayor usa un valor crítico más grande. Ese valor crítico mayor multiplica el error estándar y aumenta el margen de error.

¿Esta calculadora es bilateral o unilateral?

Es bilateral. La calculadora informa tanto un límite inferior como un límite superior, con la probabilidad restante dividida por igual entre las dos colas. Para un límite superior o inferior unilateral, use un valor crítico unilateral en lugar del valor crítico bilateral mostrado en los resultados.

¿Qué ocurre si la desviación estándar es 0?

El error estándar es 0, el margen de error es 0 y el intervalo se reduce a la media. Esto puede ocurrir cuando todos los valores observados son idénticos, pero también debe llevarle a revisar si la entrada de datos es correcta.

¿Puedo usar esto con datos no normales?

A veces. Si el tamaño de muestra es grande y los datos no están extremadamente sesgados ni dominados por valores atípicos, la aproximación normal puede ser razonable. Para muestras pequeñas de datos muy no normales, actúe con cautela y considere un método diseñado para esa situación.