Qué indica la puntuación z

La puntuación z mide qué tan lejos se encuentra un valor original de la media, expresado en unidades de desviación estándar. Si un valor tiene una puntuación z de 2, significa que está dos desviaciones estándar por encima de la media. Si tiene una puntuación z de −1,5, está una desviación y media por debajo de la media.

La fórmula es:

Aquí, $x$ es el valor original, $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación estándar. La desviación estándar debe ser positiva, ya que representa la dispersión de los datos.

Cómo interpretar puntuaciones z positivas, negativas y cero

• Una puntuación z positiva indica que el valor original está por encima de la media.
• Una puntuación z negativa indica que el valor original está por debajo de la media.
• Una puntuación z igual a cero indica que el valor original es exactamente igual a la media.

La magnitud también importa. Una puntuación z cercana a 0 está próxima al promedio, mientras que una puntuación z de 2 o −2 se aleja más del centro. Las puntuaciones z muy grandes o muy pequeñas deben interpretarse en contexto: pueden señalar una observación inusual, un valor atípico relevante o simplemente una distribución en la que se esperan valores extremos.

De los valores originales a la distribución normal estándar

La estandarización convierte un valor original de su escala original a la escala normal estándar, donde la media es 0 y la desviación estándar es 1. Esto permite comparar valores de distintas variables con distribución normal en una misma escala.

Una vez conocida la puntuación z, se puede relacionar con la distribución normal estándar:

• La probabilidad de cola izquierda, escrita como $P(X \le x)$, es el área bajo la curva a la izquierda del valor original.
• El percentil es la probabilidad de cola izquierda expresada como porcentaje. Un percentil del 84 % significa que aproximadamente el 84 % de los valores con distribución normal se encuentran en ese punto o por debajo de él.
• La probabilidad de cola derecha, escrita como $P(X > x)$, es el área bajo la curva a la derecha del valor original.

Estas probabilidades se basan en el modelo normal. Si la distribución original está muy sesgada, tiene múltiples picos o contiene valores atípicos extremos, las probabilidades normales pueden ser menos fiables, aunque la fórmula de la puntuación z siga estandarizando el valor correctamente.

Ejemplo paso a paso

Supongamos que una nota de examen es $x = 85$, la media de la clase es $\mu = 70$ y la desviación estándar es $\sigma = 15$.

La nota está una desviación estándar por encima de la media. Según el modelo normal, una puntuación z de 1 tiene una probabilidad de cola izquierda de aproximadamente 0,8413, lo que equivale a estar en torno al percentil 84. La probabilidad de cola derecha es de aproximadamente 0,1587.

Precauciones importantes

• $\sigma$ debe ser mayor que 0. Una desviación estándar de 0 significa que no hay dispersión; la fórmula de la puntuación z implicaría dividir por cero.
• Las probabilidades normales asumen que la distribución es razonablemente normal. La puntuación z en sí misma es solo una distancia estandarizada, pero la interpretación de percentiles y probabilidades de cola utiliza la curva normal.
• Las puntuaciones z extremas requieren contexto. En algunos ámbitos, los valores más allá de 3 desviaciones estándar son poco frecuentes; en otros, con distribuciones de colas pesadas, son menos sorprendentes.

Preguntas frecuentes

¿Una puntuación z más alta es siempre mejor?

No. Una puntuación z más alta solo significa que el valor está más por encima de la media. Si eso es positivo o negativo depende de lo que mida la variable. Una nota más alta en un examen puede ser algo bueno, pero una presión arterial más alta puede ser una señal de alerta.

¿Qué significa una puntuación z negativa?

Una puntuación z negativa significa que el valor original está por debajo de la media. Por ejemplo, $z = -2$ significa que el valor está dos desviaciones estándar por debajo de la media.

¿El percentil es lo mismo que la probabilidad?

Están estrechamente relacionados, pero normalmente se expresan de forma diferente. La probabilidad de cola izquierda es un decimal que representa el área bajo la curva, como 0,8413. El percentil expresa la misma posición en forma de porcentaje, por ejemplo, alrededor del percentil 84.