Z临界值计算器

Z临界值是什么意思

临界值是标准正态曲线上的一个分界点。在假设检验中，它定义了拒绝域：如果检验统计量落在这个分界点之外，那么在原假设 $H_0$ 为真的前提下，这个结果就足够罕见，可以拒绝 $H_0$。在置信区间中，临界值决定了估计值两侧需要乘上多少个标准误。

对于 Z临界值，这个计算器使用标准正态分布 $Z \sim N(0,1)$ 进行反查。它不是从已知 z 分数去求左侧概率，而是从 $\alpha=0.05$ 这样的面积，或者 $95\%$ 这样的置信水平出发，找出能够产生该面积的 z 值。

Alpha 与置信水平

显著性水平 $\alpha$ 是分配给拒绝域的概率。显著性水平为 $5\%$ 就表示 $\alpha=0.05$。

置信水平是置信区间中间覆盖的比例，通常写成 $1-\alpha$。$95\%$ 的置信水平对应：

对于双尾临界值，总 alpha 会平均分到两个尾部：

对于单尾临界值，全部 alpha 都保留在所选尾部。

单尾与双尾临界值

在右尾检验中，拒绝域位于曲线右端，因此计算器求的是：

在左尾检验中，拒绝域位于曲线左端：

在双尾检验中，拒绝域分布在两端：

这就是为什么 $95\%$ 的双尾 Z临界值大约是 $\pm 1.96$，而 $95\%$ 的单尾查找则使用大约 $1.645$ 作为右尾值，或 $-1.645$ 作为左尾值。

如何使用这个计算器

1. 选择尾部类型：双尾、右尾或左尾。
2. 选择你的输入是置信水平还是显著性水平 $\alpha$。
3. 使用预设的置信水平，或输入自定义数值。
4. 查看临界值以及拒绝域说明。
5. 将检验统计量与临界值或边界进行比较。

例如，在双尾检验且 $\alpha=0.05$ 时，拒绝规则是 $z \le -1.96$ 或 $z \ge 1.96$。在右尾检验且 $\alpha=0.05$ 时，拒绝规则是 $z \ge 1.645$。

如何理解阴影 alpha 区域

曲线中带阴影的部分就是拒绝域。在双尾检验中，计算器会给两端都加上阴影，因为任意方向上的极端值都可能对原假设不利。在右尾检验中，只有右尾带阴影；在左尾检验中，只有左尾带阴影。

竖直标记线表示非拒绝区域和拒绝域之间的边界。检验统计量一旦超过这条边界，就进入了带阴影的 alpha 区域。

置信区间中的临界值

对于双侧 z 置信区间，使用的也是同样的双尾反查。$95\%$ 的区间会把 $\alpha=0.05$ 留在区间外，其中每个尾部各占 $0.025$，因此临界值是 $z^* \approx 1.96$。误差范围为：