t临界值计算器

通过置信水平或显著性水平(alpha)以及自由度，计算单侧或双侧检验的t临界值及拒绝域。

输入查询设置

使用基于您选择的自由度的学生t分布。结果会随着您更改自由度、单双侧类型或输入值而实时更新。

\nu

自由度 (df)

对于单样本均值或配对样本差异，请使用 n - 1。

检验类型（单/双侧）

输入模式

在双侧查询中，置信水平代表中心区域的面积，剩余的alpha值被平均分配到两侧尾部。

常用置信水平

\mathrm{CL}

置信水平

请输入一个大于0且小于100的百分比数值。

临界值计算结果

$t_1=t_{\alpha/2}$ 下限临界值

-2.262157

$t_2=t_{1-\alpha/2}$ 上限临界值

2.262157

\alpha

0.05

\alpha/2

0.025

2.5%

1-\alpha

95%

置信水平

分布类型

t_{9}

学生t分布

F_t^{-1}(p)

0.975

p=1-\alpha/2

拒绝域

当 t 小于等于下限临界值，或大于等于上限临界值时，拒绝原假设(H0)。

包含Alpha阴影的t分布曲线

显示的值已进行舍入处理；在对临界状态的检验统计量进行比较时，请使用公式中的完整精度。

分布查询步骤

将输入值转换为Alpha

\alpha = 1-\frac{95}{100} = 0.05

将Alpha分配至对应侧的尾部

\frac{\alpha}{2}=\frac{0.05}{2}=0.025

确定所需的t分布分位数

t^{*}=F_t^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)=F_t^{-1}\left(0.975\right)=2.26215716

得出临界值

t_1=\left(-2.26215716\right),\ t_2=2.26215716

t临界值是什么意思

临界值是概率曲线上的一个分界点。在假设检验中，它定义了拒绝域：如果检验统计量落在这个分界点之外，那么在原假设 $H_0$ 为真的前提下，这个结果就足够罕见，可以拒绝 $H_0$ 。在置信区间中，临界值决定了估计值两侧需要乘上多少个标准误。

对于 t临界值，这个计算器会根据你选定的自由度使用 Student t 分布。与标准正态曲线相比，t 曲线的尾部更厚，尤其在自由度较小时更明显。随着自由度增加，t 分布会逐渐接近 z 分布。

自由度

自由度通常写作 $\nu$ 或 $df$ ，它决定了 t 分布的形状。对于单样本 t 检验或成对差值，常见规则是：

df = n - 1

例如，样本量 $n=25$ 时， $df=24$ 。自由度越小，临界值通常越大，因为分布尾部包含了更多概率。

Alpha 与置信水平

显著性水平 $\alpha$ 是分配给拒绝域的概率。显著性水平为 $5\%$ 就表示 $\alpha=0.05$ 。

置信水平是置信区间中间覆盖的比例，通常写成 $1-\alpha$ 。 $95\%$ 的置信水平对应：

\alpha = 1 - 0.95 = 0.05

对于双尾临界值，总 alpha 会平均分到两个尾部：

\alpha_{\text{每个尾部}} = \frac{\alpha}{2}

对于单尾临界值，全部 alpha 都保留在所选尾部。

单尾与双尾临界值

在右尾检验中，拒绝域位于曲线右端，因此计算器求的是：

t_{\alpha,df} = F_t^{-1}(1-\alpha)

在左尾检验中，拒绝域位于曲线左端：

t_{\alpha,df} = F_t^{-1}(\alpha)

在双尾检验中，拒绝域分布在两端：

\pm t^{*} = \pm F_t^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)

例如，当 $df=24$ 且进行 $95\%$ 的双尾查找时，临界值大约是 $\pm 2.064$ 。在相同自由度下，如果做右尾且 $\alpha=0.05$ 的查找，临界值大约是 $1.711$ 。

如何使用这个计算器

输入自由度。
选择尾部类型：双尾、右尾或左尾。
选择你的输入是置信水平还是显著性水平 $\alpha$ 。
使用预设的置信水平，或输入自定义数值。
查看临界值以及拒绝域说明。
将检验统计量与临界值或边界进行比较。

如何理解阴影 alpha 区域

曲线中带阴影的部分就是拒绝域。在双尾检验中，计算器会给两端都加上阴影，因为任意方向上的极端值都可能对原假设不利。在右尾检验中，只有右尾带阴影；在左尾检验中，只有左尾带阴影。

竖直标记线表示非拒绝区域和拒绝域之间的边界。检验统计量一旦超过这条边界，就进入了带阴影的 alpha 区域。

置信区间中的临界值

对于均值的双侧 t 置信区间，使用的也是同样的双尾反查。 $95\%$ 的区间会把 $\alpha=0.05$ 留在区间外，其中每个尾部各占 $0.025$ ，因此当 $df=24$ 时，临界值是 $t^* \approx 2.064$ 。误差范围为：

\text{误差范围} = t^* \times \text{标准误}