比例信賴區間計算機

透過成功次數與樣本大小，或樣本比例與樣本大小來估計母體比例的信賴區間。

輸入樣本資訊

計算結果

信賴區間

$35.1598\% \le p \le 48.8402\%$

公式

\hat{p} - ME \le p \le \hat{p} + ME

數值

0.42 - 0.068402 \le p \le 0.42 + 0.068402

在 95% 的信賴水準下，估計母體比例介於 35.1598% 和 48.8402% 之間。

由於 n p̂ = 84 且 n(1 - p̂) = 116 皆至少為 10，常態近似（Normal approximation）看似合理。

下限

35.1598%

上限

48.8402%

樣本比例 $\hat{p}$

0.42

樣本比例 (%)

42%

誤差範圍

0.068402

標準誤 $\mathrm{SE}$

0.0349

z 臨界值 $z_{1-\alpha/2}$

1.959964

成功次數

樣本大小

200

近似樣本分佈

95% 信賴區域

\pm z^*=\pm 1.96

ME=0.0684

下限35.1598%

p̂42%

上限48.8402%

逐步計算過程

1. 確定輸入值

x=84,\ n=200,\ C=95\%

2. 計算或重申樣本比例

\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{84}{200}=0.42

3. 計算標準誤 (SE)

SE=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.42(1-0.42)}{200}}=0.0349

4. 尋找 z 臨界值

z_{0.975}=1.959964

5. 計算誤差範圍 (ME)

ME=1.959964\times 0.0349=0.068402

6. 計算信賴區間

\hat{p}\pm ME=0.42\pm 0.068402\Rightarrow 0.351598 \le p \le 0.488402

了解比例信賴區間

核心重點：這個計算機能告訴你什麼

每當你抽取樣本——例如調查 200 人或檢測 500 個產品——你都在嘗試推論*整個母體*的某種情況。由於樣本只是母體的一小部分，你得到的結果只是一個估計值。

這個計算機的核心目標，是將這個單一估計值轉化為一個可靠的區間範圍。它不只是給你一個數字，而是提供如下清晰、實用的結論：

> 「在 95% 的信賴水準下，母體真實比例估計在 35.16% 到 48.84% 之間。」

這為你提供了一個真實答案可能所在的合理範圍，並附帶支撐你結論所需的誤差範圍和標準誤差。

核心概念：拆解統計學的關鍵術語

在深入數字之前，先了解計算背後的重要概念會很有幫助。

什麼是信賴區間？

信賴區間利用你的樣本資料，對未知的母體比例估算一個合理的範圍。與其只回報你的樣本比例（數學上記為 $\hat{p}$ ），不如回報一個以該估計值為中心、兩側各有一定餘量的區間。

「信賴水準」是什麼意思？

常見的信賴水準有 90%、95% 和 99%。這個百分比描述的是該統計方法的長期可靠性。如果你反覆抽取隨機樣本並以完全相同的方式建構區間，大約 95% 的這些區間會包含母體的真實比例。

信賴水準越高，區間越寬（以確保不遺漏真實值）。
信賴水準越低，區間越窄、越精確。

什麼是「z 分數」（臨界值）？

對於比例信賴區間，標準教科書方法使用 z 分數臨界值。該值來自標準常態分佈，根據你所選的信賴水準作為乘數使用。信賴水準越高，所需的 z 分數越大，最終導致誤差範圍越大。

方法背後的數學原理

對於標準的雙側 Wald 區間，數學結構相對簡單：

\hat{p} \pm z_{1-\alpha/2} \times SE

該公式由以下幾部分組成：

$\hat{p}$ ：你的樣本比例。
$z_{1-\alpha/2}$ ：z 分數臨界值。
$SE$ ：標準誤差。

標準誤差根據你的比例距離 50% 的遠近以及樣本大小來計算：

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

樣本大小（ $n$ ）越大，標準誤差越小。當觀測比例接近 50% 時，標準誤差最大，這也是為什麼區間在 50/50 附近往往較寬的原因。

假設條件與注意事項

要準確使用此方法，你的樣本應當是隨機抽取的或具有合理代表性，且各觀測值必須相互獨立。此外，Wald 區間依賴於常態近似。一個常見的經驗法則是確保樣本中至少有 10 次「成功」和 10 次「失敗」：

n\hat{p} \ge 10 \quad \text{且} \quad n(1-\hat{p}) \ge 10

若這些值太小，常態近似可能不夠精確。此外，當樣本大小極小或比例極端時，原始公式有時會產生低於 0% 或高於 100% 的結果。由於實際比例不可能超出這個範圍，實際解讀時應始終將結果限制在 0% 到 100% 之間。

一個完整的計算範例

假設一項調查記錄了 200 名參與者中 84 名「是」的回答，你希望計算 95% 信賴水準的區間。

1. 計算樣本比例：

\hat{p} = \frac{84}{200} = 0.42

2. 確定 z 臨界值：對於 95% 的雙側區間，z 值約為：

z_{0.975} = 1.96

3. 計算標準誤差：

SE = \sqrt{\frac{0.42(1-0.42)}{200}} \approx 0.0349

4. 計算誤差範圍：

ME = 1.96 \times 0.0349 \approx 0.0684

5. 計算最終區間：

0.42 \pm 0.0684 = [0.3516,\ 0.4884]

換算成百分比，最終信賴區間為 35.16% 至 48.84%。

如何使用這個計算機

這個工具的設計十分靈活，可根據你手邊的資料來使用。

第一步：選擇輸入方式

你可以透過兩種方式輸入資料：

成功次數與樣本大小：輸入觀測到的成功次數（ $x$ ）和總樣本大小（ $n$ ），計算機會自動完成除法。*（這種方式通常更清晰，可避免歧義。）*
樣本比例與樣本大小：直接輸入樣本比例和 $n$ 。可以輸入小數（0.42）或整數百分比（42 或 42%）。計算機將大於 1 的值視為百分比。

> 「成功」是什麼意思？ > 在統計學中，「成功」只是你所計數的特定結果的標準標籤。它可以是調查中的「是」回答、網站上的轉換、裝配線上的不合格零件，或任何你感興趣的結果。

第二步：設定信賴水準

選擇你所需的信賴水準（通常為 95%）。計算機將自動填入正確的 z 分數臨界值。

*注意：如果特定課程、表格或作業要求你手動輸入自訂 z 分數，可以使用進階覆蓋選項。啟用後，計算機將忽略自動查找，直接使用你輸入的精確數值。*

第三步：開始計算

點擊計算，立即取得你的信賴區間下限和上限、標準誤差、誤差範圍，以及逐步計算過程！