Z 임계값 계산기

Z 임계값의 의미

임계값은 표준정규분포 곡선 위의 경계값입니다. 가설 검정에서는 기각역을 정의하는 기준이 됩니다. 검정통계량이 그 경계를 넘어가면 귀무가설 $H_0$ 아래에서는 충분히 드문 결과로 보고 귀무가설을 기각합니다. 신뢰구간에서는 임계값이 추정치 양쪽에 몇 개의 표준오차를 둘지 결정합니다.

Z 임계값을 구할 때 이 계산기는 표준정규분포 $Z \sim N(0,1)$를 사용해 역으로 값을 찾습니다. 알려진 z 점수의 왼쪽 확률을 구하는 대신, $\alpha=0.05$ 같은 면적이나 $95\%$ 같은 신뢰수준에서 출발해 그 면적을 만드는 z 값을 계산합니다.

유의수준과 신뢰수준

유의수준 $\alpha$ 는 기각역에 배정된 확률입니다. 유의수준이 $5\%$ 라면 $\alpha=0.05$ 입니다.

신뢰수준은 신뢰구간의 가운데를 얼마나 덮는지를 나타내며 보통 $1-\alpha$ 로 씁니다. 신뢰수준 $95\%$ 는 다음과 같습니다.

양측 임계값에서는 이 전체 alpha 를 양쪽 꼬리에 똑같이 나눕니다.

단측 임계값에서는 전체 alpha 가 선택한 꼬리에 그대로 남습니다.

단측과 양측 임계값

우측 검정에서는 기각역이 곡선의 오른쪽 끝에 있으므로 계산기는 다음을 구합니다.

좌측 검정에서는 기각역이 곡선의 왼쪽 끝에 있습니다.

양측 검정에서는 기각역이 양쪽 끝으로 나뉩니다.

그래서 양측 $95\%$ Z 임계값은 약 $\pm 1.96$ 이고, 단측 $95\%$ 조회에서는 우측이 약 $1.645$, 좌측이 약 $-1.645$ 입니다.

이 계산기 사용 방법

1. 양측, 우측, 좌측 중 검정 형태를 선택합니다.
2. 입력값이 신뢰수준인지 유의수준 $\alpha$ 인지 선택합니다.
3. 미리 준비된 신뢰수준을 사용하거나 직접 값을 입력합니다.
4. 임계값과 기각역 설명을 확인합니다.
5. 검정통계량을 임계값 또는 경계와 비교합니다.

예를 들어 양측 검정에서 $\alpha=0.05$ 이면 기각 규칙은 $z \le -1.96$ 또는 $z \ge 1.96$ 입니다. 우측 검정에서 $\alpha=0.05$ 이면 기각 규칙은 $z \ge 1.645$ 입니다.

음영 처리된 alpha 영역 읽기

곡선에서 음영 처리된 부분이 기각역입니다. 양측 검정에서는 어느 방향의 극단값이든 귀무가설에 불리하므로 계산기가 양쪽 꼬리를 모두 음영 처리합니다. 우측 검정에서는 오른쪽 꼬리만, 좌측 검정에서는 왼쪽 꼬리만 음영 처리됩니다.

세로 표시는 비기각 영역과 기각역의 경계입니다. 검정통계량이 그 표시를 넘어가면 음영 처리된 alpha 영역 안에 들어갑니다.

신뢰구간에서의 임계값

양측 z 신뢰구간에서는 같은 양측 역조회가 사용됩니다. $95\%$ 구간은 구간 바깥에 $\alpha=0.05$ 를 남기고 각 꼬리에 $0.025$ 씩 배분하므로, 임계값은 $z^* \approx 1.96$ 입니다. 오차한계는 다음과 같습니다.