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탄성 충돌 계산기

1차원 탄성 충돌을 시뮬레이션하고 최종 속도를 계산합니다. 단계별 수식과 대화형 애니메이션으로 운동량 보존과 운동 에너지 보존을 확인해 보세요.

v1′=(m1−m2)v1+2m2v2m1+m2v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}

1차원 탄성 충돌을 시뮬레이션하고 최종 속도를 계산한 뒤 단계별 유도로 결과를 확인할 수 있습니다.

탄성 충돌 시뮬레이터

질량과 속도를 입력해 1차원 탄성 충돌을 시뮬레이션하세요.

부호 규칙: 양수 (+) = 오른쪽 →, 음수 (−) = 왼쪽 ←
kg
kg
m/s
−m/s

이 정면 충돌 설정에서는 v₂가 음수(왼쪽)여야 하며, 마이너스 부호는 자동으로 적용됩니다.

초기 설정

충돌 전 위치, 크기, 속도 화살표가 입력과 함께 업데이트됩니다.

12v₁ = 3 m/sv₂ = -1 m/sm₁ = 2 kgm₂ = 1 kg

충돌 시뮬레이션

충돌 장면을 확인하세요. 충돌 순간 속도가 바로 갱신됩니다.

12v₁ = 3 m/sv₂ = -1 m/s

단계별 풀이

보존 법칙부터 수치 결과까지 전체 유도 과정을 확인할 수 있습니다.

1단계: 보존 법칙\textbf{1단계: 보존 법칙}
1
운동량 보존 법칙: m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′\text{운동량 보존 법칙: } m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1\prime + m_2 v_2\prime
2
운동 에너지 보존 법칙: 12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\text{운동 에너지 보존 법칙: } \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2\prime^2
2단계: 주어진 값 대입\textbf{2단계: 주어진 값 대입}
4
(2)(3)+(1)(−1)=(2)v1′+(1)v2′(2)(3) + (1)(-1) = (2)v_1\prime + (1)v_2\prime
5
6+−1=2 v1′+1 v2′6 + -1 = 2\,v_1\prime + 1\,v_2\prime
6
5=2 v1′+1 v2′⋯(1)5 = 2\,v_1\prime + 1\,v_2\prime \quad \cdots (1)
7
12(2)(3)2+12(1)(−1)2=12(2)v1′2+12(1)v2′2\tfrac{1}{2}(2)(3)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(-1)^2 = \tfrac{1}{2}(2)v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}(1)v_2\prime^2
8
9.5=12(2)v1′2+12(1)v2′2⋯(2)9.5 = \tfrac{1}{2}(2)v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}(1)v_2\prime^2 \quad \cdots (2)
3단계: 유도된 공식 적용\textbf{3단계: 유도된 공식 적용}
10
v1′=(m1−m2) v1+2m2 v2m1+m2v_1\prime = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2m_2\,v_2}{m_1 + m_2}
11
v2′=(m2−m1) v2+2m1 v1m1+m2v_2\prime = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2m_1\,v_1}{m_1 + m_2}
4단계: 최종 속도 계산\textbf{4단계: 최종 속도 계산}
13
v1′=(2−1)(3)+2(1)(−1)2+1v_1\prime = \frac{(2 - 1)(3) + 2(1)(-1)}{2 + 1}
14
v1′=3+−23=13v_1\prime = \frac{3 + -2}{3} = \frac{1}{3}
15
v1′=0.3333 m/s\boxed{v_1\prime = 0.3333 \text{ m/s}}
16
v2′=(1−2)(−1)+2(2)(3)2+1v_2\prime = \frac{(1 - 2)(-1) + 2(2)(3)}{2 + 1}
17
v2′=1+123=133v_2\prime = \frac{1 + 12}{3} = \frac{13}{3}
18
v2′=4.3333 m/s\boxed{v_2\prime = 4.3333 \text{ m/s}}
5단계: 보존 법칙 검증\textbf{5단계: 보존 법칙 검증}
20
충돌 전 전체 운동량: 5  kg⋅m/s\text{충돌 전 전체 운동량: } 5\;\mathrm{kg\cdot m/s}
21
충돌 후 전체 운동량: 2×0.3333+1×4.3333=5  kg⋅m/s✓\text{충돌 후 전체 운동량: } 2 \times 0.3333 + 1 \times 4.3333 = 5\;\mathrm{kg\cdot m/s} \quad \checkmark
22
충돌 전 전체 운동 에너지: 9.5  J\text{충돌 전 전체 운동 에너지: } 9.5\;\mathrm{J}
23
충돌 후 전체 운동 에너지: 12(2)(0.3333)2+12(1)(4.3333)2=9.5  J✓\text{충돌 후 전체 운동 에너지: } \tfrac{1}{2}(2)(0.3333)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(4.3333)^2 = 9.5\;\mathrm{J} \quad \checkmark

결과 요약

이번 충돌의 핵심 값을 한눈에 확인하세요.

질량 2 kg, 속도 3 m/s의 물체 1이 질량 1 kg, 속도 -1 m/s의 물체 2와 충돌합니다. 탄성 충돌 후 물체 1의 속도는 0.3333 m/s (→), 물체 2의 속도는 4.3333 m/s (→)입니다.

물체 1의 질량
2 kg
물체 2의 질량
1 kg
물체 1의 초기 속도
3 m/s
물체 2의 초기 속도
-1 m/s
물체 1의 최종 속도
0.3333 → m/s
물체 2의 최종 속도
4.3333 → m/s
전체 운동량 (충돌 전)
5 kg·m/s
전체 운동량 (충돌 후)
5 kg·m/s
전체 운동 에너지 (충돌 전)
9.5 J
전체 운동 에너지 (충돌 후)
9.5 J

탄성 충돌: 완벽한 반발의 물리학

탄성 충돌이란 무엇인가요?

탄성 충돌은 충돌 전후에 운동량과 운동 에너지가 모두 보존되는 충돌입니다. 비탄성 충돌에서는 운동 에너지의 일부가 열, 소리, 변형으로 바뀌지만, 탄성 충돌에서는 계 전체의 운동 에너지가 충돌 전후에 유지됩니다.

1차원에서는 다음 두 식이 핵심입니다.

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(운동량 보존)m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \text{(운동량 보존)}
12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2(운동 에너지 보존)\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \quad \text{(운동 에너지 보존)}

탄성 충돌과 비탄성 충돌의 차이

성질탄성 충돌비탄성 충돌
운동량이 보존되는가?예예
운동 에너지가 보존되는가?예아니요
물체가 서로 붙는가?아니요경우에 따라 그럴 수 있음 (완전 비탄성)
실제 예시당구공, 원자 충돌자동차 사고, 점토 공

현실에서 완전한 탄성 충돌은 이상화된 개념입니다. 하지만 당구공처럼 단단한 물체끼리의 충돌이나 원자·분자 사이의 충돌처럼 실제로도 탄성 충돌에 매우 가까운 사례가 많습니다.

최종 속도 공식 유도하기

두 보존 법칙에서 출발하면 최종 속도 v1′v_1' 와 v2′v_2' 에 대한 닫힌 형태의 식을 유도할 수 있습니다.

방정식 세우기

질량이 각각 m1m_1, m2m_2 이고 초기 속도가 각각 v1v_1, v2v_2 인 두 물체에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′⋯(1)m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \cdots (1)
12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2⋯(2)\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \quad \cdots (2)

방정식 풀기

식 (1)을 정리하면,

m1(v1−v1′)=m2(v2′−v2)⋯(1′)m_1(v_1 - v_1') = m_2(v_2' - v_2) \quad \cdots (1')

식 (2)를 정리하고 12\tfrac{1}{2} 를 약분하면,

m1(v12−v1′2)=m2(v2′2−v22)m_1(v_1^2 - v_1'^2) = m_2(v_2'^2 - v_2^2)

양변을 제곱의 차 형태로 인수분해하면,

m1(v1−v1′)(v1+v1′)=m2(v2′−v2)(v2′+v2)⋯(2′)m_1(v_1 - v_1')(v_1 + v_1') = m_2(v_2' - v_2)(v_2' + v_2) \quad \cdots (2')

식 (2')를 식 (1')로 나누면(단, v1≠v1′v_1 \neq v_1' 이고 v2′≠v2v_2' \neq v_2 라고 가정),

v1+v1′=v2′+v2v_1 + v_1' = v_2' + v_2

즉, 접근할 때의 상대 속도는 분리할 때의 상대 속도의 부호 반대와 같다 는 뜻입니다.

v1−v2=−(v1′−v2′)v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')

이 결과를 식 (1)과 함께 풀면 다음을 얻습니다.

v1′=(m1−m2) v1+2m2 v2m1+m2\boxed{v_1' = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2m_2\,v_2}{m_1 + m_2}}
v2′=(m2−m1) v2+2m1 v1m1+m2\boxed{v_2' = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2m_1\,v_1}{m_1 + m_2}}

특수한 경우와 직관적인 이해

질량이 같은 경우 (m1=m2m_1 = m_2)

두 물체의 질량이 같으면 식이 크게 단순해집니다.

v1′=v2,v2′=v1v_1' = v_2, \quad v_2' = v_1

두 물체는 속도를 서로 완전히 교환합니다. 이것이 바로 뉴턴 요람의 원리입니다. 하나의 구슬이 같은 질량의 구슬 줄에 부딪히면 맨 끝 구슬이 비슷한 속도로 튀어나갑니다.

한 물체가 정지해 있는 경우 (v2=0v_2 = 0)

두 번째 물체가 처음에 정지해 있다면,

v1′=m1−m2m1+m2 v1,v2′=2m1m1+m2 v1v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \quad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1

m1=m2m_1 = m_2 이면 움직이던 물체는 완전히 멈추고 자신의 운동을 두 번째 물체에 모두 전달합니다.

한 물체가 훨씬 더 무거운 경우 (m1≫m2m_1 \gg m_2)

아주 무거운 물체가 아주 가벼운 물체와 충돌하면,

  • 무거운 물체의 속도는 거의 변하지 않습니다: v1′≈v1v_1' \approx v_1
  • 가벼운 물체는 크게 튕겨 나갑니다: v2′≈2v1−v2v_2' \approx 2v_1 - v_2

볼링공이 테니스공을 치는 장면을 떠올리면 이해하기 쉽습니다. 볼링공은 거의 영향을 받지 않지만 테니스공은 멀리 날아갑니다.

정면 충돌과 같은 방향 충돌

  • 정면 충돌(서로 마주 보고 움직이는 경우): 충돌 효과가 더 크고 속도 변화도 대체로 더 큽니다.
  • 같은 방향 충돌(빠른 물체가 느린 물체를 따라잡는 경우): 교환되는 상대 운동 에너지가 더 작기 때문에 속도 변화도 더 작습니다.

현실 세계의 예시

거시적인 충돌이 완벽하게 탄성적이진 않지만, 다음과 같은 상황은 매우 가깝습니다.

  1. 당구공: 단단하고 매끄러운 표면 덕분에 에너지 손실이 매우 작습니다.
  2. 뉴턴 요람: 책상 위에 두는 고전적인 장난감으로 탄성 충돌의 원리를 잘 보여 줍니다.
  3. 원자 및 분자 충돌: 미시적 규모에서 기체 분자 사이의 충돌은 거의 탄성 충돌로 볼 수 있으며, 이는 기체 운동론의 중요한 가정입니다.
  4. 입자 물리학: 가속기에서의 충돌은 탄성 충돌과 비탄성 충돌 틀로 자주 분석됩니다.

이 계산기 사용 방법

  1. 두 물체의 질량을 입력하세요. 단위는 kg이며 두 값 모두 양수여야 합니다.
  2. 초기 속도를 입력하세요. 단위는 m/s입니다. 부호 규칙은 다음과 같습니다. 양수는 오른쪽(→\rightarrow), 음수는 왼쪽(←\leftarrow)입니다.
  3. 초기 상태 다이어그램을 확인하세요. 입력한 설정이 문제 상황과 맞는지 살펴보면 됩니다.
  4. 재생을 누르세요. 충돌 애니메이션이 실행되며, 충돌 순간 속도 화살표가 갱신됩니다.
  5. 단계별 풀이를 검토하세요. 입력한 수치가 어떻게 식에 대입되어 결과가 나오는지 확인할 수 있습니다.
  6. 결과 요약을 읽어 보세요. 모든 입력값과 출력값을 빠르게 정리해서 볼 수 있습니다.

결과 해석 방법

  • 최종 속도가 양수이면 물체는 충돌 후 오른쪽으로 움직입니다.
  • 최종 속도가 음수이면 물체는 충돌 후 왼쪽으로 움직입니다.
  • 충돌 전후의 전체 운동량은 같아야 합니다(반올림 오차 제외).
  • 충돌 전후의 전체 운동 에너지도 같아야 하며, 이것이 탄성 충돌임을 확인해 줍니다.

자주 묻는 질문

실제로 완전 탄성 충돌이 존재하나요?

엄밀히 말하면 그렇지 않습니다. 모든 거시적 충돌은 운동 에너지의 아주 작은 일부를 소리, 열, 변형으로 바꿉니다. 하지만 당구공이나 강철 구슬처럼 매우 단단한 물체 사이의 충돌은 탄성 충돌에 매우 가깝습니다.

두 물체의 속도가 같으면 어떻게 되나요?

v1=v2v_1 = v_2 이면 상대 운동이 없으므로 실제로는 충돌이 일어나지 않습니다. 최종 속도는 초기 속도와 같고 아무 변화도 없습니다.

이 계산기를 2차원 충돌에도 쓸 수 있나요?

이 계산기는 1차원 충돌만 다룹니다. 2차원 탄성 충돌에서는 속도를 충돌선 방향과 그에 수직인 방향으로 나누어 분석해야 합니다.

탄성 충돌의 반발 계수는 얼마인가요?

완전 탄성 충돌에서는 반발 계수 e=1e = 1 입니다. 즉, 분리할 때의 상대 속도 크기가 접근할 때의 상대 속도 크기와 같습니다.

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