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弾性衝突計算機

1次元の弾性衝突をシミュレーションし、最終速度を計算します。段階的な数式とインタラクティブなアニメーションで、運動量保存と運動エネルギー保存を確認できます。

v1′=(m1−m2)v1+2m2v2m1+m2v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}

1次元の弾性衝突をシミュレーションし、最終速度を計算して段階的な導出で結果を確認できます。

弾性衝突シミュレーター

質量と速度を入力して、1次元の弾性衝突を再現します。

符号の約束: 正 (+) = 右向き →、負 (−) = 左向き ←
kg
kg
m/s
−m/s

この正面衝突の設定では、v₂ は負（左向き）である必要があります。マイナス記号は自動で付きます。

初期状態

衝突前の位置・大きさ・速度ベクトルが入力に合わせて更新されます。

12v₁ = 3 m/sv₂ = -1 m/sm₁ = 2 kgm₂ = 1 kg

衝突シミュレーション

衝突の様子を確認できます。衝突した瞬間に速度が更新されます。

12v₁ = 3 m/sv₂ = -1 m/s

ステップ別の解法

保存則から数値結果まで、導出と検算を順番に確認できます。

ステップ 1: 保存則\textbf{ステップ 1: 保存則}
1
運動量保存則: m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′\text{運動量保存則: } m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1\prime + m_2 v_2\prime
2
運動エネルギー保存則: 12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\text{運動エネルギー保存則: } \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2\prime^2
ステップ 2: 既知の値を代入\textbf{ステップ 2: 既知の値を代入}
4
(2)(3)+(1)(−1)=(2)v1′+(1)v2′(2)(3) + (1)(-1) = (2)v_1\prime + (1)v_2\prime
5
6+−1=2 v1′+1 v2′6 + -1 = 2\,v_1\prime + 1\,v_2\prime
6
5=2 v1′+1 v2′⋯(1)5 = 2\,v_1\prime + 1\,v_2\prime \quad \cdots (1)
7
12(2)(3)2+12(1)(−1)2=12(2)v1′2+12(1)v2′2\tfrac{1}{2}(2)(3)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(-1)^2 = \tfrac{1}{2}(2)v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}(1)v_2\prime^2
8
9.5=12(2)v1′2+12(1)v2′2⋯(2)9.5 = \tfrac{1}{2}(2)v_1\prime^2 + \tfrac{1}{2}(1)v_2\prime^2 \quad \cdots (2)
ステップ 3: 導出式を適用\textbf{ステップ 3: 導出式を適用}
10
v1′=(m1−m2) v1+2m2 v2m1+m2v_1\prime = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2m_2\,v_2}{m_1 + m_2}
11
v2′=(m2−m1) v2+2m1 v1m1+m2v_2\prime = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2m_1\,v_1}{m_1 + m_2}
ステップ 4: 最終速度を計算\textbf{ステップ 4: 最終速度を計算}
13
v1′=(2−1)(3)+2(1)(−1)2+1v_1\prime = \frac{(2 - 1)(3) + 2(1)(-1)}{2 + 1}
14
v1′=3+−23=13v_1\prime = \frac{3 + -2}{3} = \frac{1}{3}
15
v1′=0.3333 m/s\boxed{v_1\prime = 0.3333 \text{ m/s}}
16
v2′=(1−2)(−1)+2(2)(3)2+1v_2\prime = \frac{(1 - 2)(-1) + 2(2)(3)}{2 + 1}
17
v2′=1+123=133v_2\prime = \frac{1 + 12}{3} = \frac{13}{3}
18
v2′=4.3333 m/s\boxed{v_2\prime = 4.3333 \text{ m/s}}
ステップ 5: 保存則を確認\textbf{ステップ 5: 保存則を確認}
20
衝突前の全運動量: 5  kg⋅m/s\text{衝突前の全運動量: } 5\;\mathrm{kg\cdot m/s}
21
衝突後の全運動量: 2×0.3333+1×4.3333=5  kg⋅m/s✓\text{衝突後の全運動量: } 2 \times 0.3333 + 1 \times 4.3333 = 5\;\mathrm{kg\cdot m/s} \quad \checkmark
22
衝突前の全運動エネルギー: 9.5  J\text{衝突前の全運動エネルギー: } 9.5\;\mathrm{J}
23
衝突後の全運動エネルギー: 12(2)(0.3333)2+12(1)(4.3333)2=9.5  J✓\text{衝突後の全運動エネルギー: } \tfrac{1}{2}(2)(0.3333)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(4.3333)^2 = 9.5\;\mathrm{J} \quad \checkmark

結果サマリー

今回の衝突に関する主要な値をまとめて確認できます。

質量 2 kg・速度 3 m/s の物体1が、質量 1 kg・速度 -1 m/s の物体2と衝突します。弾性衝突後、物体1の速度は 0.3333 m/s（→）、物体2の速度は 4.3333 m/s（→）になります。

物体1の質量
2 kg
物体2の質量
1 kg
物体1の初速度
3 m/s
物体2の初速度
-1 m/s
物体1の最終速度
0.3333 → m/s
物体2の最終速度
4.3333 → m/s
全運動量（衝突前）
5 kg·m/s
全運動量（衝突後）
5 kg·m/s
全運動エネルギー（衝突前）
9.5 J
全運動エネルギー（衝突後）
9.5 J

弾性衝突: 完全に跳ね返る運動の物理

弾性衝突とは？

弾性衝突とは、衝突の前後で 運動量 と 運動エネルギー の両方が保存される衝突のことです。非弾性衝突では運動エネルギーの一部が熱・音・変形などに変わりますが、弾性衝突では系全体の運動エネルギーが衝突前後で保たれます。

1次元では、支配的な方程式は次の2つです。

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(運動量保存)m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \text{(運動量保存)}
12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2(運動エネルギー保存)\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \quad \text{(運動エネルギー保存)}

弾性衝突と非弾性衝突の違い

性質弾性衝突非弾性衝突
運動量は保存されるかはいはい
運動エネルギーは保存されるかはいいいえ
物体はくっつくかいいえ場合による（完全非弾性ではくっつく）
現実の例ビリヤードの球、原子衝突自動車事故、粘土球

現実には完全弾性衝突は理想化です。ただし、ビリヤード球のような硬い物体同士の衝突や、原子・分子どうしの衝突は、非常に弾性衝突に近い挙動を示します。

最終速度の公式を導く

2つの保存則から、最終速度 v1′v_1' と v2′v_2' の閉形式を導くことができます。

方程式を立てる

質量が m1m_1 と m2m_2、初速度が v1v_1 と v2v_2 の2物体について、

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′⋯(1)m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad \cdots (1)
12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2⋯(2)\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \quad \cdots (2)

方程式を解く

式 (1) を整理すると、

m1(v1−v1′)=m2(v2′−v2)⋯(1′)m_1(v_1 - v_1') = m_2(v_2' - v_2) \quad \cdots (1')

式 (2) を整理し、12\tfrac{1}{2} を消すと、

m1(v12−v1′2)=m2(v2′2−v22)m_1(v_1^2 - v_1'^2) = m_2(v_2'^2 - v_2^2)

両辺を平方差で因数分解すると、

m1(v1−v1′)(v1+v1′)=m2(v2′−v2)(v2′+v2)⋯(2′)m_1(v_1 - v_1')(v_1 + v_1') = m_2(v_2' - v_2)(v_2' + v_2) \quad \cdots (2')

式 (2') を式 (1') で割ると（v1≠v1′v_1 \neq v_1' かつ v2′≠v2v_2' \neq v_2 と仮定）、

v1+v1′=v2′+v2v_1 + v_1' = v_2' + v_2

ここから、接近時の相対速度は、分離時の相対速度の符号反転に等しい とわかります。

v1−v2=−(v1′−v2′)v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')

この関係を式 (1) と組み合わせて解くと、

v1′=(m1−m2) v1+2m2 v2m1+m2\boxed{v_1' = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2m_2\,v_2}{m_1 + m_2}}
v2′=(m2−m1) v2+2m1 v1m1+m2\boxed{v_2' = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2m_1\,v_1}{m_1 + m_2}}

特殊な場合と直感的な理解

質量が等しい場合（m1=m2m_1 = m_2）

2つの物体の質量が同じなら、式は大きく簡単になります。

v1′=v2,v2′=v1v_1' = v_2, \quad v_2' = v_1

つまり、2つの物体は速度を丸ごと交換します。これはニュートンのゆりかごで見られる典型的な挙動です。1つの球が同じ質量の球列に当たると、最後の球がほぼ同じ速さで飛び出します。

一方の物体が静止している場合（v2=0v_2 = 0）

2つ目の物体が最初に静止していると、

v1′=m1−m2m1+m2 v1,v2′=2m1m1+m2 v1v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \quad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1

m1=m2m_1 = m_2 なら、動いていた物体は完全に止まり、その運動がもう一方へ移ります。

一方が極端に重い場合（m1≫m2m_1 \gg m_2）

非常に重い物体が軽い物体に衝突すると、

  • 重い物体の速度はほとんど変わりません: v1′≈v1v_1' \approx v_1
  • 軽い物体は大きく跳ね返ります: v2′≈2v1−v2v_2' \approx 2v_1 - v_2

ボウリング球がテニスボールに当たる場面を想像するとわかりやすいでしょう。ボウリング球はほとんど影響を受けず、テニスボールだけが大きく飛ばされます。

正面衝突と同方向の追突

  • 正面衝突（互いに向かって進む）: 速度変化が大きく、衝突の効果もはっきり表れます。
  • 同方向の追突（速い物体が遅い物体に追いつく）: 交換される相対運動エネルギーが小さいため、速度変化は小さめです。

現実世界の例

巨視的な衝突が完全に弾性であることはほとんどありませんが、次のような場面はかなり近い例です。

  1. ビリヤードの球: 硬くて滑らかな表面により、衝突時のエネルギー損失はごく小さくなります。
  2. ニュートンのゆりかご: 同じ鋼球が並んだ机上玩具で、弾性衝突の原理をよく示します。
  3. 原子・分子の衝突: 微視的なスケールでは、気体分子どうしの衝突は非常に弾性的で、気体分子運動論の基礎的仮定にもなっています。
  4. 粒子物理: 加速器での衝突は、弾性・非弾性両方の枠組みで解析されます。

この計算機の使い方

  1. 2つの物体の質量を入力する。 単位は kg で、どちらも正の値である必要があります。
  2. 初速度を入力する。 単位は m/s です。符号の約束として、正は右向き（→\rightarrow）、負は左向き（←\leftarrow）を表します。
  3. 初期状態図を確認する。 問題設定と入力が一致しているかを見てください。
  4. 再生ボタンを押す。 衝突アニメーションが始まり、衝突の瞬間に速度ベクトルが更新されます。
  5. ステップ別の解法を確認する。 あなたの数値がどのように式へ代入され、最終結果に至るかがわかります。
  6. 結果サマリーを読む。 入力値と出力値をまとめて素早く確認できます。

結果の読み方

  • 最終速度が 正 なら、物体は衝突後に右へ進みます。
  • 最終速度が 負 なら、物体は衝突後に左へ進みます。
  • 衝突前後の 全運動量 は同じになるはずです（丸め誤差は除く）。
  • 衝突前後の 全運動エネルギー も一致するはずで、これが弾性衝突であることの確認になります。

よくある質問

現実に完全弾性衝突は存在しますか？

厳密には存在しません。巨視的な衝突では、わずかな運動エネルギーが音・熱・変形に変わります。ただし、ビリヤード球や鋼球のような非常に硬い物体どうしの衝突は、きわめて弾性衝突に近いといえます。

2つの物体の速度が同じならどうなりますか？

v1=v2v_1 = v_2 なら相対運動がないため、実質的には衝突しません。最終速度は初速度と同じで、何も変化しません。

2次元の衝突にも使えますか？

この計算機が扱うのは 1次元 の衝突だけです。2次元の弾性衝突では、衝突方向とそれに垂直な方向へ速度を分解して考える必要があります。

弾性衝突の反発係数はいくつですか？

完全弾性衝突では反発係数 e=1e = 1 です。これは、分離時の相対速度の大きさが、接近時の相対速度の大きさと等しいことを意味します。

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